Geometria algebrica
Ciao a tutti!
Ho da risolvere un esercizio:
In $ mathbb(C)^4 $ ho le curve così parametrizzate:
$ X={(t,t^2,t^3,0)|t \in mathbb{C}} $
$ Y={(0,u,0,1)|u \in mathbb{C}} $
Poi definisce il Join J(X,Y) =$ \bigcup_{P\inX,Q\inY}PQ $ intendendo con PQ le rette per P e Q.
Chiede quindi di descrivere questo insieme, dicendo se è algebrico.
Io ho parametrizzato questo J, ed è risultato così: $ {(tk,u+kt^2-ku,kt^3,1-k)|t,k,u\in\mathbb{C}} $
A questo punto mi sono costruito il polinomio $ F=x^3-z(w-1)^2 $ che si annulla nei punti di J.
Poi ho preso un punto qualunque $ P(a,b,c,d) \in V(F) $ e mi sono apprestato a provare che stava in J.
Tutto bene se $ d \ne 1 $, ma viene fuori che i punti del tipo $ (0,b,c,1) $ stanno in V(f) ma non in J, se $ c\ne0 $!
Non so come uscirne, non so se iniziare a dimostrare (non so come) che J non è algebrico, o se devo cercare un altro polinomio, aiutatemi voi!
Ho da risolvere un esercizio:
In $ mathbb(C)^4 $ ho le curve così parametrizzate:
$ X={(t,t^2,t^3,0)|t \in mathbb{C}} $
$ Y={(0,u,0,1)|u \in mathbb{C}} $
Poi definisce il Join J(X,Y) =$ \bigcup_{P\inX,Q\inY}PQ $ intendendo con PQ le rette per P e Q.
Chiede quindi di descrivere questo insieme, dicendo se è algebrico.
Io ho parametrizzato questo J, ed è risultato così: $ {(tk,u+kt^2-ku,kt^3,1-k)|t,k,u\in\mathbb{C}} $
A questo punto mi sono costruito il polinomio $ F=x^3-z(w-1)^2 $ che si annulla nei punti di J.
Poi ho preso un punto qualunque $ P(a,b,c,d) \in V(F) $ e mi sono apprestato a provare che stava in J.
Tutto bene se $ d \ne 1 $, ma viene fuori che i punti del tipo $ (0,b,c,1) $ stanno in V(f) ma non in J, se $ c\ne0 $!
Non so come uscirne, non so se iniziare a dimostrare (non so come) che J non è algebrico, o se devo cercare un altro polinomio, aiutatemi voi!
Risposte
Io non mi trovo con il risultato del join: a ben vedere \(J(X;Y)\) contiene il cono (affine complesso) che ha per base la cubica (complessa) gobba \(X\) e vertice il punto \((0;0;0;1)\).
Puoi postare il calcolo della determinazione di \(J(X;Y)\)!
Puoi postare il calcolo della determinazione di \(J(X;Y)\)!
Ho preso il punto $ Q=(0,u,0,1) $ in Y e il generico vettore $ PQ=(t,t^2-u,t^3,-1) $ . Poi ho parametrizzato le retta PQ e viene come Q+kPQ, con k che varia in C. E l'unione di tutte le rette si ottiene facendo variare i parametri dappertutto...
Fino al tuo spazio parametrizzato direi che è tutto giusto, troviamoci la nostra equazione:
${(tk,kt^2-(k-1)u,kt^3,1-k)|t,k,u in CC} => {(k=1-w),(t=x/(1-w)),(u=(y-x^2/(1-w))/(w)),(z=x^3/(1-w)^2):}$
Vediamo se è vero:
$z=x^3/(1-w)^2=> kt^3= t^3 k^3/k^2 $ VERO
${(tk,kt^2-(k-1)u,kt^3,1-k)|t,k,u in CC} => {(k=1-w),(t=x/(1-w)),(u=(y-x^2/(1-w))/(w)),(z=x^3/(1-w)^2):}$
Vediamo se è vero:
$z=x^3/(1-w)^2=> kt^3= t^3 k^3/k^2 $ VERO
Per $s!=0$ i punti $(s^2,s,1,1-s^3)$ appartengono a $J(X,Y)$.
Infatti, basta prendere $(k,t,u)=(s^3,1$/$s,0)$.
Ogni polinomio $F\in CC[X_1,X_2,X_3,X_4]$ che si annulla su $J(X,Y)$ ha
quindi la proprieta' che il polinomio $f(S) = F(S^2,S,1,1-S^3)\in CC$
si annulla in ogni $s\in CC$ diverso da zero. Ma allora $f$ e' il polinomio nullo
e si annulla anche in $s=0$ ed abbiamo quindi che $F(0,0,1,1)=0$.
Questo significa che $(0,0,1,1)$ sta nella chiusura di Zariski di $J(X,Y)$.
Invece, come ha notato @erasmulfo, il punto $(0,0,1,1)$ non appartiene a $J(X,Y)$
e quindi l'insieme $J(X,Y)$ non e' algebrico.
Infatti, basta prendere $(k,t,u)=(s^3,1$/$s,0)$.
Ogni polinomio $F\in CC[X_1,X_2,X_3,X_4]$ che si annulla su $J(X,Y)$ ha
quindi la proprieta' che il polinomio $f(S) = F(S^2,S,1,1-S^3)\in CC
si annulla in ogni $s\in CC$ diverso da zero. Ma allora $f$ e' il polinomio nullo
e si annulla anche in $s=0$ ed abbiamo quindi che $F(0,0,1,1)=0$.
Questo significa che $(0,0,1,1)$ sta nella chiusura di Zariski di $J(X,Y)$.
Invece, come ha notato @erasmulfo, il punto $(0,0,1,1)$ non appartiene a $J(X,Y)$
e quindi l'insieme $J(X,Y)$ non e' algebrico.
Sono proprio fiacco -_-
@erasmulfo Il calcolo è corretto, e me n'ero già accorto durante le vacanze pasquali.
@Maci86 Compito per casa: cos'hai sbagliato?
@Stickelberger Ma hai un'occhio bionico
Hai subito trovato una parametrizzazione ad hoc!
@erasmulfo Il calcolo è corretto, e me n'ero già accorto durante le vacanze pasquali.
@Maci86 Compito per casa: cos'hai sbagliato?
@Stickelberger Ma hai un'occhio bionico
Hai subito trovato una parametrizzazione ad hoc!
Fiacco non tanto se te ne sei accorto dai!
Quindi non è algebrica questa cosa, e la professoressa domani dovrà chiederci scusa per il suo pesce d'aprile anticipato!
Quindi non è algebrica questa cosa, e la professoressa domani dovrà chiederci scusa per il suo pesce d'aprile anticipato!
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