Geometria affine: ribaltamento rispetto a un piano.
Ho un po' di confusione sul seguente esercizio.
"Considerando lo spazio affine \(\ A^3 \) , determinare la trasformazione affine T data dal ribaltamento rispetto al piano \(\ x+y=2 \)"
Non riesco a fare un'analisi coerente, ovvero devo eseguire un ribaltamento che appartiene sul piano oppure ribaltare il piano da un generico asse?
Come eseguire poi dall'analisi corretta?
"Considerando lo spazio affine \(\ A^3 \) , determinare la trasformazione affine T data dal ribaltamento rispetto al piano \(\ x+y=2 \)"
Non riesco a fare un'analisi coerente, ovvero devo eseguire un ribaltamento che appartiene sul piano oppure ribaltare il piano da un generico asse?
Come eseguire poi dall'analisi corretta?
Risposte
Non mi è chiaro l'uso del termine "ribaltamento".
Io conosco il ribaltamento rispetto ad una retta. Ad esempio, nella proiezione di Monge si proietta l'oggetto sul piano XY e sul piano YZ, poi si ribalta il piano YZ facendolo ruotare attorno all'asse Y fino a farlo coincidere con XY.
Non so che cosa possa essere il ribaltamento rispetto a un piano.
Io conosco il ribaltamento rispetto ad una retta. Ad esempio, nella proiezione di Monge si proietta l'oggetto sul piano XY e sul piano YZ, poi si ribalta il piano YZ facendolo ruotare attorno all'asse Y fino a farlo coincidere con XY.
Non so che cosa possa essere il ribaltamento rispetto a un piano.
Il piano è generato da:
$<((0),(1),(-1),(0)),((0),(0),(0),(1))> + ((1),(2),(0),(0))$.
Troviamo un vettore ortogonale ai due che compongono il piano:
$<((0),(1),(1),(0))>$
Per svolgere l'esercizio, i vettori ortogonali al piano devono essere ribaltati, mentre quelli paralleli al piano rimangono in se stessi. Scriviamo la matrice di cambiamento di riferimento portando l'origine in $((1),(1),(1),(0))$ e cambiando gli assi nei nostri 3 vettori:
$((1,0,0,0),(0, 1/2, -1/2, 0),(0,0,0,1),(-1,1/2,1/2,0))$
La cui inversa è:
$((1,0,0,0),(1, 1, 0,1),(1,-1,0,1),(0,0,1,0))$
Quindi la matrice cercata sarà:
$((1,0,0,0),(1, 1, 0,1),(1,-1,0,1),(0,0,1,0))((1,0,0,0),(0, 1, 0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,-1))((1,0,0,0),(0, 1/2, -1/2, 0),(0,0,0,1),(-1,1/2,1/2,0))=((1,0,0,0),(2, 0, -1,0),(2,-1,0,0),(0,0,0,1))$
$<((0),(1),(-1),(0)),((0),(0),(0),(1))> + ((1),(2),(0),(0))$.
Troviamo un vettore ortogonale ai due che compongono il piano:
$<((0),(1),(1),(0))>$
Per svolgere l'esercizio, i vettori ortogonali al piano devono essere ribaltati, mentre quelli paralleli al piano rimangono in se stessi. Scriviamo la matrice di cambiamento di riferimento portando l'origine in $((1),(1),(1),(0))$ e cambiando gli assi nei nostri 3 vettori:
$((1,0,0,0),(0, 1/2, -1/2, 0),(0,0,0,1),(-1,1/2,1/2,0))$
La cui inversa è:
$((1,0,0,0),(1, 1, 0,1),(1,-1,0,1),(0,0,1,0))$
Quindi la matrice cercata sarà:
$((1,0,0,0),(1, 1, 0,1),(1,-1,0,1),(0,0,1,0))((1,0,0,0),(0, 1, 0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,-1))((1,0,0,0),(0, 1/2, -1/2, 0),(0,0,0,1),(-1,1/2,1/2,0))=((1,0,0,0),(2, 0, -1,0),(2,-1,0,0),(0,0,0,1))$
Non mi è chiaro perché hai considerato vettori di 4 dimensioni essendo nello spazio affine.
Nel corso della giornata, però, sono riuscito a risolvere l'esercizio e vi propongo lo svolgimento.
Considerando un punto generico $P=(x_0,y_0,z_0)$, troviamo la retta ortogonale al piano $pi:x+y-2=0$ :
$r:\ {(x=x_0+\lambda),(y=y_0+\lambda),(z=z_0):}$
Determiniamo $Q in pi nn r$ :
$pi nn r: x_0+\lambda+y_0+\lambda-2=0$
$\lambda=1/2(2-x_0-y_0)$
$Q:\ {(x=x_0+1/2(2-x_0-y_0)),(y=y_0+1/2(2-x_0-y_0)),(z=z_0):}$
Ribaltamento, $\bar{P}$ è il punto $\bar{P} in r$ tale che $dist(P,Q)=dist(\bar{P},Q)$ :
$dist(P,Q)^2=||P-Q||^2=...=1/2(2-x_0-y_0)^2 \Rightarrow dist(P,Q)=1/sqrt(2) |2-x_0-y_0|$
Un punto su $r$ è dato da $(x_0+\lambda; y_0+\lambda; z_0), \lambda in RR$ , quindi:
$dist(R_\lambda,Q)^2=||R_\lambda-Q||^2=...=2(\lambda-1/2(2-x_0-y_0))^2 \Rightarrow dist(R_\lambda,Q)=sqrt(2)|\lambda-1/2(2-x_0-y_0)|$
Se $dist(R_\lambda,Q)=dist(P,Q)$, allora $|\lambda-1/2(2-x_0-y_0)|=1/2|2-x_0-y_0| \Rightarrow\{(\lambda_1=0 \rightarrow R_0=P),(\lambda_2=2-x_0-y_0 \rightarrow R_...=\bar{P}):}$
Quindi, $\bar{P}:\{(x=x_0+(2-x_0-y_0)=y_0+2), (y=y_0+(2-x_0-y_0)=x_0+2), (z=z_0):}$
Infine, $T:((x),(y),(z)) rarr [[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]][[x_0],[y_0],[z_0]]+[[2],[2],[0]]$.
Nel corso della giornata, però, sono riuscito a risolvere l'esercizio e vi propongo lo svolgimento.
Considerando un punto generico $P=(x_0,y_0,z_0)$, troviamo la retta ortogonale al piano $pi:x+y-2=0$ :
$r:\ {(x=x_0+\lambda),(y=y_0+\lambda),(z=z_0):}$
Determiniamo $Q in pi nn r$ :
$pi nn r: x_0+\lambda+y_0+\lambda-2=0$
$\lambda=1/2(2-x_0-y_0)$
$Q:\ {(x=x_0+1/2(2-x_0-y_0)),(y=y_0+1/2(2-x_0-y_0)),(z=z_0):}$
Ribaltamento, $\bar{P}$ è il punto $\bar{P} in r$ tale che $dist(P,Q)=dist(\bar{P},Q)$ :
$dist(P,Q)^2=||P-Q||^2=...=1/2(2-x_0-y_0)^2 \Rightarrow dist(P,Q)=1/sqrt(2) |2-x_0-y_0|$
Un punto su $r$ è dato da $(x_0+\lambda; y_0+\lambda; z_0), \lambda in RR$ , quindi:
$dist(R_\lambda,Q)^2=||R_\lambda-Q||^2=...=2(\lambda-1/2(2-x_0-y_0))^2 \Rightarrow dist(R_\lambda,Q)=sqrt(2)|\lambda-1/2(2-x_0-y_0)|$
Se $dist(R_\lambda,Q)=dist(P,Q)$, allora $|\lambda-1/2(2-x_0-y_0)|=1/2|2-x_0-y_0| \Rightarrow\{(\lambda_1=0 \rightarrow R_0=P),(\lambda_2=2-x_0-y_0 \rightarrow R_...=\bar{P}):}$
Quindi, $\bar{P}:\{(x=x_0+(2-x_0-y_0)=y_0+2), (y=y_0+(2-x_0-y_0)=x_0+2), (z=z_0):}$
Infine, $T:((x),(y),(z)) rarr [[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]][[x_0],[y_0],[z_0]]+[[2],[2],[0]]$.
Semplicemente perché così posso differenziare punti e vettori, cosa che in 3 coordinate non risulta affatto chiara. Il risultato è lo stesso del mio, anche se il procedimento è diverso e terribilmente complicato 
..
Attento ai segni nella tua matrice, prova a mettere un vettore appartenente al piano e vedere dove va a finire!
..Attento ai segni nella tua matrice, prova a mettere un vettore appartenente al piano e vedere dove va a finire!
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