Geometria affine - Piano parallelo ad una retta

[Seneca1]

Sia $A^3$ uno spazio affine. Determinare l'equazione cartesiana del generico piano $pi$ parallelo alla retta $r$:

$r \{(x + y + z = 0),(y - z = 0):}$

Svolgimento:

La giacitura di $r$ è $< ( - 2 , 1 , 1) >$, quindi la giacitura del piano cercato sarà $< v , ( -2 , 1 , 1) >$ , $v in V , v != (0,0,0)$ e $v != ( - 2 , 1 , 1)$.

Sia $v = ( x_1 , x_2 , x_3)$ e $P in A^3$ di coordinate $P ( h_1 , h_2 , h_3)$.

Allora le equazioni parametrice del piano, chiamando $alpha$, $beta$ i parametri, sono:

$pi \{(x = alpha x_1 - 2 beta + h_1),(y = alpha x_2 + beta + h_2),(z = alpha x_3 + beta + h_3):}$

Eliminando i parametri trovo:

$pi : x_1 y - z x_1 - ( x_2 - x_3 ) x = (2 beta - h_1 ) ( x_2 - x_3 ) + x_1 ( h_2 - h_3)$

Ammesso che i calcoli siano giusti, si può accettare questa come soluzione dell'esercizio?

E, seconda cosa, posso più comodamente scrivere: $pi : x_1 y - z x_1 - ( x_2 - x_3 ) x = k$ , $k in RR$ senza perdere generalità?

In questo caso il piano dipenderebbe da $4$ parametri, con la terna $v = (x_1 , x_2 , x_3 )$ che soddisfa alle condizioni poste all'inizio. Mi fa strano che venga così perché anche la generica equazione di un piano qualsiasi dipende da 4 parametri, quindi mi aspettavo ce ne volessero meno per individuare il piano cercato.

[Quinzio]

Se prendi una qualsiasi combinazione lineare dei vettori normali ai due piani che generano r, hai la normale a un piano che è parallelo ad r.
Quindi avremo:
$\lambda_1 x + (\lambda_1+\lambda_2)y+ (\lambda_1-\lambda_2)z + \alpha=0$
Se poi prendi
$\lambda_1=cos \gamma$
$\lambda_2=sin \gamma$
non perdi nessuna soluzione.
Quindi il tutto dipende da 2 parametri liberi, cioè la distanza da r e un angolo di rotazione attorno ad r.

[Seneca1]

Grazie Quinzio; ma più che altro volevo capire cosa fallisce nel mio ragionamento...