Geometria affine
Salve ho un esercizio velevo sapere se secondo voi è fatto bene.
Siano assegnate le seguenti affinità:
$phi={\(x'=3x+y+2),(y'=x-y+7):}$ e $psi={\(x''=x'+y'),(y''=2x+3):}$
a) Determinare le equazioni della composizione $psi o phi$.
Posto $A=((3,1),(1,-1))$, $c=((2),(7))$, $B=((1,1),(2,0))$ e $d=((0),(3))$
ottengo che la composizione è
$z=By+d=B(Ax+c)+d=BAx+ (Bc+d)$
nel mio caso viene:
$psi o phi= {\(z_1=4x+9),(z_2=6x+2y+7):}$
b)Determinare un equazione paramentrica per l'immagine tramite $psi$ della retta r che passa per (0,3) e (2,5).
Osservo che l'applicazione $psi$ era rappresentate da $y=Ax+c$ passando all'inversa ho che $x=A^-1(y-c)$
l'inversa è $A^-1=((0,1/2),(1,-1/2))$ segue che
${\(x=1/2y'-3/2),(y=x'-1/2y+3/2):}$
sostituisco x ed y della retta a con quelle appena trovate ottenendo l'equazione della nuova retta.
c)determinare l'equazione di $psi$ nel riferimento $R=(P,(e_1,e_2))$ ove $P(6,-4)$
qui effettuo una traslazione quindi mi cambia solo il termine noto dell'affinità quindi cambia solo il termine noto che diventa $d=((6),(-1))$
d)determinare l'equazione di $psi$ nel riferimento $R=(O,(e_1+4e_2,3e_1+e_2))$.
L'origine rimane fissata devo effettuare un cambio di base
Se denoto con $M$ la matrice che ha come colonne le componenti della nuova base allora, $M$ è la matrice che va dalla base del nuovo riferimento al vecchio, analogamente con $M^-1$
è la matrice che va dal vecchio riferimento al nuovo
$B=MAM^-1$
Quindi l'affinità sarà B + il termine di traslazione non cambiato.
Che dite???
Siano assegnate le seguenti affinità:
$phi={\(x'=3x+y+2),(y'=x-y+7):}$ e $psi={\(x''=x'+y'),(y''=2x+3):}$
a) Determinare le equazioni della composizione $psi o phi$.
Posto $A=((3,1),(1,-1))$, $c=((2),(7))$, $B=((1,1),(2,0))$ e $d=((0),(3))$
ottengo che la composizione è
$z=By+d=B(Ax+c)+d=BAx+ (Bc+d)$
nel mio caso viene:
$psi o phi= {\(z_1=4x+9),(z_2=6x+2y+7):}$
b)Determinare un equazione paramentrica per l'immagine tramite $psi$ della retta r che passa per (0,3) e (2,5).
Osservo che l'applicazione $psi$ era rappresentate da $y=Ax+c$ passando all'inversa ho che $x=A^-1(y-c)$
l'inversa è $A^-1=((0,1/2),(1,-1/2))$ segue che
${\(x=1/2y'-3/2),(y=x'-1/2y+3/2):}$
sostituisco x ed y della retta a con quelle appena trovate ottenendo l'equazione della nuova retta.
c)determinare l'equazione di $psi$ nel riferimento $R=(P,(e_1,e_2))$ ove $P(6,-4)$
qui effettuo una traslazione quindi mi cambia solo il termine noto dell'affinità quindi cambia solo il termine noto che diventa $d=((6),(-1))$
d)determinare l'equazione di $psi$ nel riferimento $R=(O,(e_1+4e_2,3e_1+e_2))$.
L'origine rimane fissata devo effettuare un cambio di base
Se denoto con $M$ la matrice che ha come colonne le componenti della nuova base allora, $M$ è la matrice che va dalla base del nuovo riferimento al vecchio, analogamente con $M^-1$
è la matrice che va dal vecchio riferimento al nuovo
$B=MAM^-1$
Quindi l'affinità sarà B + il termine di traslazione non cambiato.
Che dite???
Risposte
"squalllionheart":
d)determinare l'equazione di $psi$ nel riferimento $R=(O,(e_1+4e_2,3e_1+e_2))$.
L'origine rimane fissata devo effettuare un cambio di base
Se denoto con $M$ la matrice che ha come colonne le componenti della nuova base allora, $M$ è la matrice che va dalla base del nuovo riferimento al vecchio, analogamente con $M^-1$
è la matrice che va dal vecchio riferimento al nuovo
$B=MAM^-1$
Quindi l'affinità sarà B + il termine di traslazione non cambiato.
Che dite???
la matrice dell cambio di base è perfetta
essendo che la vecchia base è quella standard 
. Però $B$ la trovi moltiplicando al contrario le matrici mi pare (*). Inoltre se ruoti lo spazio perchè la traslazione non cambia?...Le componenti della traslazione nella nuova base sono diverse! La freccia della traslazione rimane uguale (cioè la direzione nello spazio detto in termine rozzo), ma le componenti rispetto al sistema di riferimento affine sono cambiate, Concordi (potrei anche aver detto cavolate..)?(*)infatti detta $C$ la base di partenza e $B$ la base di arrivo potremo scrivere che inizialmente te avrai $A=A_C^C$ e $b=b_C$. Devi ottenere $B=A_B^B$ e $b=b_B$. Detta $M_B^C$ la matrice del cambio di coordinate da $C$ a $B$ avrari che $A_B^B=M_B^CA_C^CM_C^B$ e $b_B=M_B^Cb_C$.
Con le tue notazioni avremo che $M_C^B=M$(che è il cambio di base che va dal nuovo riferimento al vecchio) e $M_B^C=M^{-1}$ (che è il cambio di base dal vecchio riferimento ($C$) al nuovo $B$ ).
Oppure se vuoi vederla in altro modo, detta $H=M_B^C$ avremo che $((x'),(y'))=A((x),(y))+b$ espresso nella base di partenza $C$, se vogliamo cambiare base allora avremo che
$((x''),(y''))=H((x'),(y'))$ (cioè il risultato viene cambiato di base) e $((barx),(bary))=H((x),(y))=>((x),(y))=H^{-1}((barx),(bary))$ (cioè le coordinate iniziali cambiano la base)
componendo ottieni $((x''),(y''))=H(A((x),(y))+b)=H(AH^{-1}((barx),(bary))+b)=HAH^{-1}((barx),(bary))+Hb$ che se vogliamo riscrivere con la notazione da me adorata cioè mettendo $H=M_B^C=>H^{-1}=M_C^B$ e otteniamo, facendo pulizia di apici e barrette che l'affinità nelle nuove coordinate si scrive nel seguente modo: $((x'),(y'))=M_B^CA_C^CM_C^B((x),(y))+M_B^Cb_C$ come dicevo sopra.
Solo qualche commento che è soprattutto importante quando si vogliono implementare queste cose in un software. Ogni affinità $\varphi : x \mapsto Ax + c$ può essere scritta come una matrice a blocchi nella forma: $((A,c),(0,1))$. Per poterla usare devi però scrivere i punti come matrici colonna nella forma $((x),(1))$ e i vettori nella forma $((v),(0))$. Infatti
$((A,c),(0,1))((x),(1)) = ((Ax + c),(1))$
Questa forma è molto comoda quando si vogliono comporre diverse trasformazioni perché è sufficiente una moltiplicazione tra le due matrici:
$\phi = ((3,1,2),(1,-1,7),(0,0,1))$
$\psi = ((1,1,0),(2,0,3),(0,0,1))$
$\psi\phi = ((1,1,0),(2,0,3),(0,0,1))((3,1,2),(1,-1,7),(0,0,1)) = ((4,0,9),(6,2,7),(0,0,1))$
Il risultato è ovviamente uguale al tuo.
Una retta se trasformata per affinità rimane sempre una retta. È quindi sufficiente trasformare i punti. Per trasformare piú di un punto insieme si può semplicemente creare una matrice le cui colonne sono i vari punti da trasformare (nella forma già descritta). Quindi
$X = ((0,2),(3,5),(1,1))$
$\psi X = ((1,1,0),(2,0,3),(0,0,1))((0,2),(3,5),(1,1)) = ((3,7),(3,7),(1,1))$
La retta immagine è quindi quella passante per i punti (3,3) e (7,7) ed è quindi la retta $t \mapsto (t,t)$. Ovviamente avresti potuto utilizzare lo stesso metodo anche senza usare la forma matriciale e trasformare semplicemente i due punti. Ti lascio per esercizio, se non ti è stato mostrato, che l'immagine di un segmento è univocamente determinato dall'immagine dei due estremi in un'affinità.
La matrice di cambio della base è semplicemente la matrice che ha come colonne i vettori e l'origine:
$R_1 = ((1,0,6),(0,1,-4),(0,0,1))$
$R_2 = ((1,3,0),(4,1,0),(0,0,1))$
$\psi$ nelle nuove basi è quindi semplicemente $R_1 \psi R_1^{-1}$ e $R_2 \psi R_2^{-1}$.
$R_1 \psi R_1^{-1} = ((1,0,6),(0,1,-4),(0,0,1)) ((1,1,0),(2,0,3),(0,0,1)) ((1,0,-6),(0,1,4),(0,0,1)) = ((1,0,6),(0,1,-4),(0,0,1)) ((1,1,-2),(2,0,-9),(0,0,1)) = ((1,1,4),(2,0,-13),(0,0,1))$
$R_2 \psi R_2^{-1} = ... = ((-3/11,20/11,9),(10/11,14/11,3),(0,0,1))$
Come vedi anche la traslazione viene cambiata...
$((A,c),(0,1))((x),(1)) = ((Ax + c),(1))$
Questa forma è molto comoda quando si vogliono comporre diverse trasformazioni perché è sufficiente una moltiplicazione tra le due matrici:
$\phi = ((3,1,2),(1,-1,7),(0,0,1))$
$\psi = ((1,1,0),(2,0,3),(0,0,1))$
$\psi\phi = ((1,1,0),(2,0,3),(0,0,1))((3,1,2),(1,-1,7),(0,0,1)) = ((4,0,9),(6,2,7),(0,0,1))$
Il risultato è ovviamente uguale al tuo.
Una retta se trasformata per affinità rimane sempre una retta. È quindi sufficiente trasformare i punti. Per trasformare piú di un punto insieme si può semplicemente creare una matrice le cui colonne sono i vari punti da trasformare (nella forma già descritta). Quindi
$X = ((0,2),(3,5),(1,1))$
$\psi X = ((1,1,0),(2,0,3),(0,0,1))((0,2),(3,5),(1,1)) = ((3,7),(3,7),(1,1))$
La retta immagine è quindi quella passante per i punti (3,3) e (7,7) ed è quindi la retta $t \mapsto (t,t)$. Ovviamente avresti potuto utilizzare lo stesso metodo anche senza usare la forma matriciale e trasformare semplicemente i due punti. Ti lascio per esercizio, se non ti è stato mostrato, che l'immagine di un segmento è univocamente determinato dall'immagine dei due estremi in un'affinità.
La matrice di cambio della base è semplicemente la matrice che ha come colonne i vettori e l'origine:
$R_1 = ((1,0,6),(0,1,-4),(0,0,1))$
$R_2 = ((1,3,0),(4,1,0),(0,0,1))$
$\psi$ nelle nuove basi è quindi semplicemente $R_1 \psi R_1^{-1}$ e $R_2 \psi R_2^{-1}$.
$R_1 \psi R_1^{-1} = ((1,0,6),(0,1,-4),(0,0,1)) ((1,1,0),(2,0,3),(0,0,1)) ((1,0,-6),(0,1,4),(0,0,1)) = ((1,0,6),(0,1,-4),(0,0,1)) ((1,1,-2),(2,0,-9),(0,0,1)) = ((1,1,4),(2,0,-13),(0,0,1))$
$R_2 \psi R_2^{-1} = ... = ((-3/11,20/11,9),(10/11,14/11,3),(0,0,1))$
Come vedi anche la traslazione viene cambiata...
Non mi torna il vettore colonna. Effettivamente il vettore colonna ha bisogno solo di una matrice per il cambio di coordinate e non entrambe, d'altronde la moltiplicazione a destra e a sinistra per un vettore non ha senso. Ma avrei utilizzato $M^-1b$ e non $Mb$, cioè quello che mi porta il vettore dalla vecchia base alla nuova....
"squalllionheart":
Ma avrei utilizzato $M^-1b$ e non $Mb$, cioè quello che mi porta il vettore dalla vecchia base alla nuova....
infatti $b$ viene trasformato con $M_B^C$ che è la matrice dalla base vecchia alla nuova. Se rileggi il mio post vedrai che ho scritto come dici te
ops... Queste notazioni assurde;) Ok allora torna;) Grazie.
Non sono assurde, anzi aiutano in alto vedi la base da cui si parte, in basso la base dove si arriva.
Quando componi la diagonale discendente alto basso deve avere la setssa lettera, così ti aiuta a ricordare come devi scrivere le cose
in alto vedi la base da cui si parte, in basso la base dove si arriva. Quando componi la diagonale discendente alto basso deve avere la setssa lettera, così ti aiuta a ricordare come devi scrivere le cose
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