Geometria
Credevo di essere di fronte ad un problema banale (e lo credo ancora) ma probabilmente sono così poco intelligente da non riuscire a dimostrarlo....
Ho $p_1,........,p_r,q_1,........,q_s$ punti distinti in sulla retta reale $A^1$.
Devo dimostrare che se $A^1-\{p_1,........,p_r\}$ è isomorfo a $A^1-\{q_1,........,q_s\}$ allora $r=s$ e poi rispondere alla domanda, vale anche il contrario?
Io credevo fosse banale, ma mi accorgo che non so da dove partire, quello che credo è che valga anche il contrario, perchè credo di sapere definire l'isomorfismo, semplicemente identità su tutti i punti diversi da quelli detti e scambiare i punti eliminati nei due casi, ma non so come dimostrare la prima parte, mi aiutate?
Grazie
Ho $p_1,........,p_r,q_1,........,q_s$ punti distinti in sulla retta reale $A^1$.
Devo dimostrare che se $A^1-\{p_1,........,p_r\}$ è isomorfo a $A^1-\{q_1,........,q_s\}$ allora $r=s$ e poi rispondere alla domanda, vale anche il contrario?
Io credevo fosse banale, ma mi accorgo che non so da dove partire, quello che credo è che valga anche il contrario, perchè credo di sapere definire l'isomorfismo, semplicemente identità su tutti i punti diversi da quelli detti e scambiare i punti eliminati nei due casi, ma non so come dimostrare la prima parte, mi aiutate?
Grazie
Risposte
cosa intendi per isomorfi? cioè che esiste una applicazione biunivoca fra i due?
se sono isomorfi allora devono avere gli stessi elementi... prova a pensare cosa succede agli elementi ce togli essi devono essere uguali...
raffina questa traccia
raffina questa traccia
beh togliendo degli elementi elimino anche delle immagini dell'isomorfismo, ma questo non è che mi dica molto, perchè l'isomorfismo ce lho già tra i due insiemi che non gli elementi tolti, no?
si l'idea è prorpio quella data a sergio...
nel senso se i due insiemi sono isomorfi allora esiste una corrispondenza biunivoca tra i due...
ecco una traccia di una soluzione possibile...
questo vuol dire che data una mappa $phi:A^1\\{p_1...p_r}->A^1\\{q_1...q_s}$ tale che $phi(x)=y$, allora essendo che $phi$ è biunivoca per ipotesi, segue che $AAx\nA^1\\{p_1...p_r},EE!y=phi(x)$ e $phi(A^1\\{p_1...p_r})=A^1\\{q_1...q_s}$.
Mettiamo quindi che per assurdo $r!=s$, per semplicità possiamo supporre che $s
[...]
ora ti lascio finire la dimostrazione a te giusto per non togliere il gran finale, comunque per finire devi far vedere che l'immagine di $phi$ non può essere tutto il codominio...
se ipotizzi che s>r allora considera $phi^(-1)$ e il discorso è uguale.
quindi se r=s il numero di punti sottratto da ambo le parti è uguale e la cardinalità è la stessa.
viceversa è vero se per isomorfismo intendi semplicemente che esiste una mappa biunivoca... perchè comunque avendo la stessa cardinalità puoi trovare una mappa come descritto sopra...
nel senso se i due insiemi sono isomorfi allora esiste una corrispondenza biunivoca tra i due...
ecco una traccia di una soluzione possibile...
questo vuol dire che data una mappa $phi:A^1\\{p_1...p_r}->A^1\\{q_1...q_s}$ tale che $phi(x)=y$, allora essendo che $phi$ è biunivoca per ipotesi, segue che $AAx\nA^1\\{p_1...p_r},EE!y=phi(x)$ e $phi(A^1\\{p_1...p_r})=A^1\\{q_1...q_s}$.
Mettiamo quindi che per assurdo $r!=s$, per semplicità possiamo supporre che $s
[...]
ora ti lascio finire la dimostrazione a te giusto per non togliere il gran finale, comunque per finire devi far vedere che l'immagine di $phi$ non può essere tutto il codominio...
se ipotizzi che s>r allora considera $phi^(-1)$ e il discorso è uguale.
quindi se r=s il numero di punti sottratto da ambo le parti è uguale e la cardinalità è la stessa.
viceversa è vero se per isomorfismo intendi semplicemente che esiste una mappa biunivoca... perchè comunque avendo la stessa cardinalità puoi trovare una mappa come descritto sopra...
Non ho grosse conoscenze in materia, però penso che $A^1$ sia isomorfo ad $A^1$ privato di un numero finito $r$ di elementi... A prescindere da quanto vale $r$... Sbaglio?
scusa ma la circonferenza meno un punto è isomorfa a $RR$ (proiezione stereografica), $RR\{x_1,...,x_m}$ non è isomorfa a $S^1\{n}$ o sbaglio?
essendo che l'essere isomorfi è una relazione di equivalenza allora $RR$ non è isomorfo a $RR\{x_1,...,x_m}$
ti convince?
essendo che l'essere isomorfi è una relazione di equivalenza allora $RR$ non è isomorfo a $RR\{x_1,...,x_m}$
ti convince?
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