GEOMETRIA
ecco un altro esercizio:
nello spazio euclideo E3 nel quale sia fissato un sistema di riferimento ortonormale,sono dati la retta r:2x-z-1=0=3x+y+z+2 ed il punto P(2,1,0) determinare:
1)la retta passante per P e parallela as r
2)due rette passanti per P ed orogonali a r
3)il piano passante per P ed ortogonale a r
4)la proiezione ortogonale di p su r
5)la distanza di P da r
6)la retta passante per P incidente la retta r e a questa ortogonale
nello spazio euclideo E3 nel quale sia fissato un sistema di riferimento ortonormale,sono dati la retta r:2x-z-1=0=3x+y+z+2 ed il punto P(2,1,0) determinare:
1)la retta passante per P e parallela as r
2)due rette passanti per P ed orogonali a r
3)il piano passante per P ed ortogonale a r
4)la proiezione ortogonale di p su r
5)la distanza di P da r
6)la retta passante per P incidente la retta r e a questa ortogonale
Risposte
Ciao!
Allora, per il punto 1) basta che metti la retta r in forma parametrica, ovvero poni ad esempio z=t . Le equazioni diventano:
$2x-t=1 $ ovvero $x=(t+1)/2$
$3(t+1)/2 + y + t +2=0$ ovvero $y=-t 5/2 -7/2$
Quindi sai che la retta r è individuata dal vettore di direzione (1/2 , -5/2, 1) (ovvero i coefficienti di t nelle equazioni) e dal punto (1/2, -7/2, 0).
A noi interessa il vettore perchè una retta parallela avrà lo stesso vettore di direzione (o uno proporzionale. Infatti per eliminare il 2 a denominatore moltiplichiamo il vettore per 2 : (1,-5,2)).
La retta che stiamo cercando avrà equazioni:
$x= t +2 $
$y= -5t +1$
$z= 2t$
Questa è la forma parametrica, se vuoi la forma cartesiana basta eliminare il parametro t (dato che t=z/2 sostituisci dove c'è t z/2).
Per il punto 2) usi sempre il vettore di direzione di r che avevamo trovato e trovi con il prodotto scalare 2 vettori ortogonali. E stessa cosa, costruisci le equazioni parametriche, dato che hai vettori di direzioni e un punto di queste 2 rette che devi trovare.
Per il punto 3) sai che un piano è individuato da 2 vettori e un punto. Usi i due vettori ortogonali trovati al punto precedente e il punto ce l'hai, è P.
E per gli altri punti non ricordo bene come si fa e sono troppo fusa per pensarci
perdonami!!
Spero lo faccia qualcun altro altrimenti ripasso domani ehehe!
Se hai bisogno di altri chiarimenti posta, cmq studiati bene le equqzioni GENERICHE parametriche e cartesiane di un piano (se cerchi in Google le trovi, anche su Wikipedia), che sono molto utili.
Paola
Allora, per il punto 1) basta che metti la retta r in forma parametrica, ovvero poni ad esempio z=t . Le equazioni diventano:
$2x-t=1 $ ovvero $x=(t+1)/2$
$3(t+1)/2 + y + t +2=0$ ovvero $y=-t 5/2 -7/2$
Quindi sai che la retta r è individuata dal vettore di direzione (1/2 , -5/2, 1) (ovvero i coefficienti di t nelle equazioni) e dal punto (1/2, -7/2, 0).
A noi interessa il vettore perchè una retta parallela avrà lo stesso vettore di direzione (o uno proporzionale. Infatti per eliminare il 2 a denominatore moltiplichiamo il vettore per 2 : (1,-5,2)).
La retta che stiamo cercando avrà equazioni:
$x= t +2 $
$y= -5t +1$
$z= 2t$
Questa è la forma parametrica, se vuoi la forma cartesiana basta eliminare il parametro t (dato che t=z/2 sostituisci dove c'è t z/2).
Per il punto 2) usi sempre il vettore di direzione di r che avevamo trovato e trovi con il prodotto scalare 2 vettori ortogonali. E stessa cosa, costruisci le equazioni parametriche, dato che hai vettori di direzioni e un punto di queste 2 rette che devi trovare.
Per il punto 3) sai che un piano è individuato da 2 vettori e un punto. Usi i due vettori ortogonali trovati al punto precedente e il punto ce l'hai, è P.
E per gli altri punti non ricordo bene come si fa e sono troppo fusa per pensarci
perdonami!!Spero lo faccia qualcun altro altrimenti ripasso domani ehehe!
Se hai bisogno di altri chiarimenti posta, cmq studiati bene le equqzioni GENERICHE parametriche e cartesiane di un piano (se cerchi in Google le trovi, anche su Wikipedia), che sono molto utili.
Paola
scusate l'ignoranza, ma come è possibile che in uno spazio a 3 dimensioni
vi siano 2 rette parallele e passanti per uno stesso punto?
(mi riferisco al passo 2) Inoltre potresti esplicitare il passaggio del prodotto scalare, sempre del 2 passo...
Grazie a tutti
vi siano 2 rette parallele e passanti per uno stesso punto?
(mi riferisco al passo 2) Inoltre potresti esplicitare il passaggio del prodotto scalare, sempre del 2 passo...
Grazie a tutti
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