Geometria 2 - Esercizio sugli spazi topologici
Premetto che non posto questo esercizio per ricevere necessariamente una soluzione, anzi data la mia difficoltà nella comprensione della teoria sulla topologia e conseguente difficoltà nella pratica degli esercizi gradirei più che altro un aiuto su come approcciarmi nella risoluzione di questo e in generale dei problemi sugli spazi topologici.
Spero di essere stata chiara
Questo è un esercizio-tipo che potrebbe uscire all'esame
Si munisca R dei numeri reali della topologia $ A $ i cui aperti sono :
$ { O/ , RR ,( - oo , 0 ) uu ( 2 , b ) | b in RR } $
Si determinino le proprietà topologiche dello spazio topologico $ S ( RR , A) $
Si stabilisca se è:
-separato
-compatto
-connesso
-separabile
-a base numerabile
Poi dalla successione $ xn= 1 / n $ con $ n in NN $ si calcolino i punti di convergenza in $ S $.
Del sottoinsieme $ Y= [-1,1] $ si calcoli la chiusura e l'interiore nello spazio $ S $.
Si munisca $RR$ della topologia naturale $ An $ e sia $ S1 $ lo spazio topologico $ (RR,An) $
e si consideri la funzione tra $ S1 $ e $ S $
$ f: x in RR -> (x)^(2) + 2 in RR $
si stabilisca se è continua nel punto $ { 1 } $
Fine esercizio
Mi sembra che S sia:
-è separato
-non è compatto
-è sconnesso
-non è separabile
- non è numerabile .. ?
Però non so spiegare bene il perchè , la mia prof vuole che giustifico tutte le risposte... ammesso che siano esatte...
Chi mi aiuta?
Sono molto in difficoltà.
Grazie in anticipo
Spero di essere stata chiara
Questo è un esercizio-tipo che potrebbe uscire all'esame
Si munisca R dei numeri reali della topologia $ A $ i cui aperti sono :
$ { O/ , RR ,( - oo , 0 ) uu ( 2 , b ) | b in RR } $
Si determinino le proprietà topologiche dello spazio topologico $ S ( RR , A) $
Si stabilisca se è:
-separato
-compatto
-connesso
-separabile
-a base numerabile
Poi dalla successione $ xn= 1 / n $ con $ n in NN $ si calcolino i punti di convergenza in $ S $.
Del sottoinsieme $ Y= [-1,1] $ si calcoli la chiusura e l'interiore nello spazio $ S $.
Si munisca $RR$ della topologia naturale $ An $ e sia $ S1 $ lo spazio topologico $ (RR,An) $
e si consideri la funzione tra $ S1 $ e $ S $
$ f: x in RR -> (x)^(2) + 2 in RR $
si stabilisca se è continua nel punto $ { 1 } $
Fine esercizio
Mi sembra che S sia:
-è separato
-non è compatto
-è sconnesso
-non è separabile
- non è numerabile .. ?
Però non so spiegare bene il perchè , la mia prof vuole che giustifico tutte le risposte... ammesso che siano esatte...
Chi mi aiuta?
Sono molto in difficoltà.
Grazie in anticipo
Risposte
Nessuno nessuno ?
Perchè qualcuno dovrebbe fare uno sforzo ad aiutarti se tu non fai uno sforzo ad essere chiara?
1) Uso delle formule, vedi
Ormai hai già trascorso un po' di tempo nel forum, avrai già letto il regolamento.
2) Il forum non è un risolutore automatico di esercizi, posta in maniera precisa i tuoi dubbi. Nel dettaglio, come hai dedotto le affermazioni seguenti?
Tu dici che non sai spiegare bene il perchè, ma un minimo di ragionamento l'avrai fatto, non credo tu abbia provato a indovinare.
Dicci cosa hai pensato...
Da quel poco che ho capito in questo forum, domande brevi, precise e ben formulate trovano quasi sempre una risposta.
1) Uso delle formule, vedi
"Greatkekko":
Si munisca R dei numeri reali della topologia A i cui aperti sono il vuoto R ed i sottoinsiemi
Bb= ]- oo , 0[ U ]2 , a[ con b>2 , si indici con S questo spazio topologico.
Ormai hai già trascorso un po' di tempo nel forum, avrai già letto il regolamento.
2) Il forum non è un risolutore automatico di esercizi, posta in maniera precisa i tuoi dubbi. Nel dettaglio, come hai dedotto le affermazioni seguenti?
"Greatkekko":
Mi sembra che S sia:
-è separato
-non è compatto
-è sconnesso
-non è separabile
- non è numerabile .. ?
Tu dici che non sai spiegare bene il perchè, ma un minimo di ragionamento l'avrai fatto, non credo tu abbia provato a indovinare.
Dicci cosa hai pensato...
Da quel poco che ho capito in questo forum, domande brevi, precise e ben formulate trovano quasi sempre una risposta.
Magari se scrivessi a dovere le formule... Riscrivo la definizione degli aperti:
[tex]\mathfrak{A}=\{ \emptyset, \mathbb{R}, (-\infty, 0) \cup (2, b) \mid b \in \mathbb{R} \}[/tex]
o almeno credo, nel tuo post c'è ambiguità anche su questo.
[edit] Sono stato anticipato da cirasa. Meglio per te, sei finita in ottime mani (se segui i suoi suggerimenti).
[tex]\mathfrak{A}=\{ \emptyset, \mathbb{R}, (-\infty, 0) \cup (2, b) \mid b \in \mathbb{R} \}[/tex]
o almeno credo, nel tuo post c'è ambiguità anche su questo.
[edit] Sono stato anticipato da cirasa. Meglio per te, sei finita in ottime mani (se segui i suoi suggerimenti).
"Greatkekko":Quando qualcuno studia topologia "per l'esame" mi dispiace sempre un po'...
Questo è un esercizio-tipo che potrebbe uscire all'esame
"dissonance":Greatkekko forse non se n'è accorta, ma manca [tex](2,+\infty)[/tex] (se abbiamo capito bene quali sono gli aperti).
[tex]\mathfrak{A}=\{ \emptyset, \mathbb{R}, (-\infty, 0) \cup (2, b) \mid b \in \mathbb{R} \}[/tex]
Ho modificato il messaggio secondo le correzioni che mi avete indicato, ho ricontrollato varie volta non dovrebbero esserci errori.
Chiedo scusa.
Quando dico che non sono in grado di scrivere delle motivazioni per le risposte che ho dato è perchè non ho capito bene la teoria e quindi attenendomi sono alla definizioni mi sento di dare queste risposte , che sono probabilmente senza alcun fondamento a causa del fatto che questo argomento non mi entra proprio in testa.
Ripeto anche un consiglio su come approcciare questa materia mi sarebbe molto utile , l'esercizio era una cosa in più.
Per Cirasa : non ho chiesto una soluzione.
Per Martino : non manca $ (2 , +oo) $ , il testo dell'esercizio è scritto correttamente .
Per dissonance : ho riscritto la formula , spero che ora non ci siamo più ambiguità.
Chiedo ancora scusa , se qualcuno è disponibile a darmi qualche consiglio ben venga.
Ringrazio in anticipo.
Chiedo scusa.
Quando dico che non sono in grado di scrivere delle motivazioni per le risposte che ho dato è perchè non ho capito bene la teoria e quindi attenendomi sono alla definizioni mi sento di dare queste risposte , che sono probabilmente senza alcun fondamento a causa del fatto che questo argomento non mi entra proprio in testa.
Ripeto anche un consiglio su come approcciare questa materia mi sarebbe molto utile , l'esercizio era una cosa in più.
Per Cirasa : non ho chiesto una soluzione.
Per Martino : non manca $ (2 , +oo) $ , il testo dell'esercizio è scritto correttamente .
Per dissonance : ho riscritto la formula , spero che ora non ci siamo più ambiguità.
Chiedo ancora scusa , se qualcuno è disponibile a darmi qualche consiglio ben venga.
Ringrazio in anticipo.
"Greatkekko":Mi sono sbagliato, l'aperto che manca è [tex](-\infty,0) \cup (2,+\infty)[/tex]. Lo ottieni come l'unione dei [tex](-\infty,0) \cup (2,b)[/tex].
Per Martino : non manca $ (2 , +oo) $ , il testo dell'esercizio è scritto correttamente.
Io sono sempre estasiato dalla topologia 
Una semplice osservazione ti facilita il lavoro: cosa puoi dire dell'intersezione di due fissati aperti?
"Greatkekko":Per quanto riguarda questo punto puoi osservare che alcuni punti di $S$ hanno la proprietà che il solo loro intorno è tutto $RR$. Quindi ogni successione li ammette come "punti di convergenza". Poi ti puoi domandare se ce ne sono altri.
Poi dalla successione $x_n = 1/n$ con $n in NN$ si calcolino i punti di convergenza in $S$.
Si stabilisca se è:(I numeri li ho messi io). Per (1) devi vedere se puoi separare due punti distinti con aperti disgiunti. Per (2) devi vedere se da ogni ricoprimento aperto riesci ad estrarre un sottoricoprimento finito. Per (3) devi vedere se esistono due aperti non vuoti disgiunti la cui unione è tutto $RR$. Per (4) devi vedere se esiste un sottoinsieme denso numerabile. Per (5) devi andare in cerca di una famiglia di aperti indiciata su $NN$ che sia una base per la topologia.
(1) separato
(2) compatto
(3) connesso
(4) separabile
(5) a base numerabile
Una semplice osservazione ti facilita il lavoro: cosa puoi dire dell'intersezione di due fissati aperti?
Martino, se non sbaglio, hai scambiato (1) e (4)!
Uno spazio separato è uno spazio topologico per cui ogni coppia di punti distinti ammette intorni disgiunti, mentre uno spazio separabile è uno spazio che ammette un sottospazio denso e numerabile.
Uno spazio separato è uno spazio topologico per cui ogni coppia di punti distinti ammette intorni disgiunti, mentre uno spazio separabile è uno spazio che ammette un sottospazio denso e numerabile.
"cirasa":Hai ragione, ho modificato. Mi confondo sempre..
Martino, se non sbaglio, hai scambiato (1) e (4)!
Uno spazio separato è uno spazio topologico per cui ogni coppia di punti distinti ammette intorni disgiunti, mentre uno spazio separabile è uno spazio che ammette un sottospazio denso e numerabile.
Innanzitutto ringrazio per le risposte.
Ora riguardo un pò il tutto e vedo se ho capito bene
Solo una domanda per Martino : il ragionamento che proponi di fare vale per ogni esercizio e non solo per questo , giusto?
Ora riguardo un pò il tutto e vedo se ho capito bene
Solo una domanda per Martino : il ragionamento che proponi di fare vale per ogni esercizio e non solo per questo , giusto?
"Greatkekko":E' una domanda un po' generica. Ogni esercizio va trattato secondo quello che è. Non c'è un algoritmo che permetta di risolvere gli esercizi di un dato argomento (in questo caso, topologia). Gli esercizi sono inventati dalle persone, quindi possono essere dei tipi più disparati.
Solo una domanda per Martino : il ragionamento che proponi di fare vale per ogni esercizio e non solo per questo , giusto?
Se per esempio ti chiedono se un certo spazio è separato devi prendere due punti arbitrari e vedere se riesci a separarli con aperti disgiunti. Ma questo è ovvio, si tratta di applicare la definizione di spazio separato. Se ti chiedono se un certo spazio è compatto devi prendere un arbitrario ricoprimento aperto e vedere se riesci ad estrarne sempre un sottoricoprimento finito. E anche questo è ovvio, si tratta di applicare la definizione di spazio compatto.
Se non ho ancora risposto in modo soddisfacente alla tua domanda allora vuol dire che non l'ho capita..
No , sei stato chiarissimo e hai capito la domanda, ti ringrazio nuovamente!
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