Geometria 1. esercizio sulle coniche con metodo dei fasci
Salve a tutti. Avrei bisogno di aiuto con questo esercizio di geometria 1.
Determinare la conica avente la retta y = 2x come asse, la retta x + y = 0 come diametro e la retta
x - y + 1 =0 come polare del punto P = (1 , 1).
Ho iniziato facendo l'intersezione tra l'asse e il diametro e il punto di intersezione è l'origine O = (0,0).
Poi avevo pensato di considerare il punto (1, -1) che sta sul diametro (l'ho scelto io questo punto) e di trovare
il simmetrico rispetto all'asse, ma non sono molto convinta.
Come costruisco il fascio di coniche? Avete qualche idea?
Grazie
Determinare la conica avente la retta y = 2x come asse, la retta x + y = 0 come diametro e la retta
x - y + 1 =0 come polare del punto P = (1 , 1).
Ho iniziato facendo l'intersezione tra l'asse e il diametro e il punto di intersezione è l'origine O = (0,0).
Poi avevo pensato di considerare il punto (1, -1) che sta sul diametro (l'ho scelto io questo punto) e di trovare
il simmetrico rispetto all'asse, ma non sono molto convinta.
Come costruisco il fascio di coniche? Avete qualche idea?
Grazie
Risposte
L'asse ed il diametro dati passano entrambi per il centro della conica e quindi la loro intersezione, ovvero il punto
\(\displaystyle O(0,0) \), rappresenta il centro della conica richiesta. Poiché il centro è un punto proprio, la conica o è una ellisse o è una iperbole ed ha quindi due assi. Uno di questi è la retta data $2x-y=0$, l'altro è la perpendicolare a quest'ultima condotta per il centro O e dunque è la retta $x+2y=0$
A questo punto si hanno i due assi e, secondo la teoria ( che giudiziosamente andrai a rivedere
), l'equazione della (generica) conica del tipo richiesto è:
$p(2x-y)^2+q(x+2y)^2=1$
dove \(\displaystyle \text{p e q} \) sono due parametri da determinare in base alla condizione che la polare di \(\displaystyle P(1,1) \) sia la retta \(\displaystyle x-y+1=0 \) Imponendo tale condizione ( ti consiglio di fare i calcoli da solo ) si trova, per la conica richiesta, l'equazione :
$7x^2-8xy+y^2+3=0$
Trattasi di un'iperbole.
\(\displaystyle O(0,0) \), rappresenta il centro della conica richiesta. Poiché il centro è un punto proprio, la conica o è una ellisse o è una iperbole ed ha quindi due assi. Uno di questi è la retta data $2x-y=0$, l'altro è la perpendicolare a quest'ultima condotta per il centro O e dunque è la retta $x+2y=0$
A questo punto si hanno i due assi e, secondo la teoria ( che giudiziosamente andrai a rivedere
), l'equazione della (generica) conica del tipo richiesto è:$p(2x-y)^2+q(x+2y)^2=1$
dove \(\displaystyle \text{p e q} \) sono due parametri da determinare in base alla condizione che la polare di \(\displaystyle P(1,1) \) sia la retta \(\displaystyle x-y+1=0 \) Imponendo tale condizione ( ti consiglio di fare i calcoli da solo ) si trova, per la conica richiesta, l'equazione :
$7x^2-8xy+y^2+3=0$
Trattasi di un'iperbole.
Grazie Ciromario una cosa.. ma quindi tu hai considerato il caso di fascio di coniche bitangenti?
Comunque non riesco a capire quell' 1 dopo l'uguale nel fascio.. negli esempi e nella teoria che ho studiato
il fascio era sempre un equazione uguagliata a zero ...
Diciamo che non ho capito molto bene come hai costruito il fascio :/
una cosa.. ma quindi tu hai considerato il caso di fascio di coniche bitangenti?Comunque non riesco a capire quell' 1 dopo l'uguale nel fascio.. negli esempi e nella teoria che ho studiato
il fascio era sempre un equazione uguagliata a zero ...
Diciamo che non ho capito molto bene come hai costruito il fascio :/
L'equazione generale sarebbe così :
$a(2x-y)^2+b(x+2y)^2+r=0$
con 3 parametri.
Se si suppone $r ne 0$ allora si può dividere tutto per $-r$ :
$a/{-r}(2x-y)^2+b/{-r}(x+2y)^2-1=0$
Ponendo $a/{-r}=p,b/{-r}=q$ si ha appunto :
$p(2x-y)^2+q(x+2y)^2=1$
e nell'equazione compaiono due soli parametri anziché 3.
Quanto al modo di arrivare a tali risultati, mi sono riferito alla teoria che spiega come poter scrivere l'equazione del
fascio di coniche di cui sono note le equazioni di due diametri coniugati ( come lo sono i due assi). E' una cosa lunghetta da riportare qui sul Forum e rischierei di non farmi capire. Di solito viene trattata o nella teoria o negli eserciziari. Vedi un po' tu...
$a(2x-y)^2+b(x+2y)^2+r=0$
con 3 parametri.
Se si suppone $r ne 0$ allora si può dividere tutto per $-r$ :
$a/{-r}(2x-y)^2+b/{-r}(x+2y)^2-1=0$
Ponendo $a/{-r}=p,b/{-r}=q$ si ha appunto :
$p(2x-y)^2+q(x+2y)^2=1$
e nell'equazione compaiono due soli parametri anziché 3.
Quanto al modo di arrivare a tali risultati, mi sono riferito alla teoria che spiega come poter scrivere l'equazione del
fascio di coniche di cui sono note le equazioni di due diametri coniugati ( come lo sono i due assi). E' una cosa lunghetta da riportare qui sul Forum e rischierei di non farmi capire. Di solito viene trattata o nella teoria o negli eserciziari. Vedi un po' tu...
Mmmm... si ho cpt il ragionamento. La prof non ci ha mai accennato a questa "formula"
per scrivere l'equazione del fascio di coniche di cui sono note le equazioni di due diametri coniugati.
Nè l'ho trovara nei libri... Ok grazie 1000 per l'aiuto
per scrivere l'equazione del fascio di coniche di cui sono note le equazioni di due diametri coniugati.
Nè l'ho trovara nei libri... Ok grazie 1000 per l'aiuto
Completo con la dimostrazione della formula dei diametri coniugati. Magari a Marthy non interessa più ma lo faccio per me ...
Nella figura $s_1,s_2$ sono gli assi della conica ( non disegnata in fig.); $A,B$ sono le (eventuali) intersezioni di $s_1$
( o di $s_2$ , se si preferisce) ) con la conica ed infine $t_1,t_2$ sono le tangenti alla conica in A e B rispettivamente.
E' facile dimostrare che $t_1$ ( $t_2$ ) è parallela all'asse $s_2$. Infatti $t_1$ ha per polo il punto A che appartiene
all'asse $s_1$ e quindi il polo di $s_1$ appartiene a $t_1$. Ma il polo di $s_1$, essendo gli assi $s_1,s_2$ coniugati, è il punto improprio di $s_2$ . E dunque $t_1$ ( $t_2$ ) è parallela all'asse $s_2$. Inoltre $t_1,t_2$ sono simmetrici rispetto a $s_2$ e quindi le loro equazioni sono del tipo:
$t_1: x+2y+c=0$
$t_2: x+2y-c=0$
A questo punto siamo in grado di scrivere l'equazione del fascio di coniche richiesto in quanto abbiamo i quattro punti base ( a due a due coincidenti ) $A,A,B,B$. L'equazione è formalmente la seguente:
$mu(A A)(BB)+lambda(AB)(AB)=0 $
Ovvero :
$ mu(t_1)(t_2)+lambda(s_1)(s_1)=0$
E sostituendo le rispettiva equazioni :
$mu(x+2y+c)(x+2y-c)+lambda(2x-y)^2=0$
Svolgendo qualche calcolo :
$mu(x+2y)^2-mu c^2+lambda(2x-y)^2=0$
Ponendo $ -muc^2=nu$ , si ha infine l'equazione del fascio :
$lambda(2x-y)^2+mu(x+2y)^2+nu=0$
C.D.D.
[ot]Siccome sono un inguaribile nostalgico mi affeziono alle cose passate. Per questo mi domandavo ieri che ne era dell' utente dal nick "VECCHIO". Lui e FIREBALL (altra " leggenda" del sito) hanno fatto a suo tempo la storia di matematicamente...[/ot]
Grazie 1000 Ciromario per la tua spiegazione, completa ed esauriente
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