[Geom. differenziale] Sulle linee asintotiche e di curvatura

[Paolo902]

Problema (Concorso di ammissione SNS). Si consideri la funzione
\[
\begin{split}
x \colon & (0,+\infty) \times \mathbb R \to \mathbb R^3 \\
& (t,\vartheta ) \mapsto ( t\cos{\vartheta}, t\sin{\vartheta},\vartheta )
\end{split}
\]

Si provi che $x$ parametrizza una superficie $S$ che ha ovunque curvatura media nulla. Determinare quindi le linee asintotiche e le linee di curvatura di $S$.

La prima parte è del tutto standard, sono tutti conti. Brevemente, la jacobiana di $x$ è
\[ J =
\begin{pmatrix}
\cos{\vartheta} & -t\sin{\vartheta} \\
\sin{\vartheta} & t\cos{\vartheta} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
e si vede chiaramente che c'è un minore di ordine 2 mai nullo ($t>0$): quindi il rango è due, cioè il differenziale è iniettivo e concludiamo felicemente che $x$ è proprio una parametrizzazione di una superficie. Per quanto riguarda la curvatura media, non scrivo tutti i conti ma mi limito a riportare la prima forma fondamentale
\[
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1+t^2
\end{pmatrix},
\]
la seconda forma fondamentale
\[
Q = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\]
e la matrice che rappresenta il differenziale della mappa di Gauss nella base $(x_u, x_v)$ del tangente:
\[
A = -I^{-1} Q = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\]
dalla quale si vede subito che $H=-\frac{1}{2}\text{tr}A \equiv 0$.

Le linee asintotiche (=le curve il cui vettore tangente è in ogni punto isotropo per la II forma fondamentale) non danno troppi problemi: la parametrizzazione $(u(t), v(t))$ di una linea asintotica deve risolvere l'equazione differenziale
\[
-\frac{2}{\sqrt{1+t^2}} u' v' = 0
\]
da cui si deduce che tutte e sole le linee asintotiche sono le linee coordinate.

Per quanto riguarda le linee di curvatura, invece, ho qualche problemino in più: sbirciando sul libro ho scoperto che la parametrizzazione $(u(t), v(t))$ questa volta deve soddisfare
\[
-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}(u')^2 + \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}(v')^2 = 0
\]
cioè
\[
(v'-u')(v'+u')=0.
\]

E' corretto concludere che $u=\pm v$?

Che dite? Avete trovato errori?
Grazie.

[ciampax]

In generale ci saranno anche delle costanti che dipendono dal punto in cui passi (ad esempio avendo $(u_0,v_0)=(u(1),v(1))$) ma per il resto mi pare fili tutto liscio. (oddio, non ho fatto i calcoli, ma mi sembra che i valori che hai scritto abbiano il loro senso).

[Paolo902]

"ciampax":In generale ci saranno anche delle costanti che dipendono dal punto in cui passi (ad esempio avendo $(u_0,v_0)=(u(1),v(1))$) ma per il resto mi pare fili tutto liscio. (oddio, non ho fatto i calcoli, ma mi sembra che i valori che hai scritto abbiano il loro senso).

Grazie mille ciampax, gentilissimo.

[Alexp1]

Si, è tutto corretto!!!

[Serserjj]

Scusate l'intrusione, ma è il mio primo messaggio, e non so come funzioni il regolamento sulla risposta a vecchi post! Comunque, mi sembra che ci sia un errore nella soluzione di Paolo90, quando moltiplica l'inversa della prima forma fondamentale per la seconda... E di conseguenza sulle linee di curvatura... Se ho visto giusto è solo un errore di conto, ma volevo accertamente, per chi come me si stesse cimentando in questi esercizi