[Geom. Differenziale] Curvatura gaussiana
Il teorema egregium di Gauss stabilisce in sostanza che la curvatura gaussiana è invariante per isometrie locali.
Il punto in questione è questo: per capire se due superfici regolari $S_1$, $S_2$ NON sono localmente isometriche bisogna guardare alla curvatura gaussiana di ciascuna delle due superfici. Il problema è che i coefficienti della prima forma fondamentale dipendono dalle carte locali che scelgo su $S_1$ e su $S_2$, perciò, con carte locali arbitrarie, pur essendo i coefficienti della I forma fondamentale di $S_1$ (a due a due) diversi da quelli di $S_2$ (e quindi aventi $K_{gauss}$ diverse), potrebbe essere che le curve siano comunque localmente isometriche (è necessario riparametrizzarle opportunamente).
La spiegazione che mi sono dato è la seguente:
Andando a riguardare la dimostrazione del teorema egregium ho trovato che, data un'isometria $F : E \subset S_1 \to F(E) \subset S_2$ ed una parametrizzazione locale $\varphi : U \to \varphi(U) \subset E$, la parametrizzazione locale per $F(\varphi(U))$ non è scelta a caso ma si considera $\psi = F \circ \varphi : U \to F(\varphi(U)) \subset S_2$ e poi si dimostra che i coefficienti dell I f.f. rispetto alle $\varphi , \psi$ sono degli invarianti euclidei. In generale quindi è dura dimostrare che due superfici non sono localmente isometriche, perché bisognerebbe provare che $\forall$ parametrizzazione delle due superfici i coefficienti della I forma fondamentale (che dipendono dalle param. locali fissate) sono funzioni diverse a due a due.
Per affermare che sfera e piano non sono localmente isometriche invece non servono troppe considerazioni perché $K_{\text{piano}} \equiv 0$ e $K_{\text{sfera}} = 1/r^2$ ($r$ raggio della sfera) sono diversi e ambedue funzioni costanti.
Sono considerazioni corrette le mie?
Il punto in questione è questo: per capire se due superfici regolari $S_1$, $S_2$ NON sono localmente isometriche bisogna guardare alla curvatura gaussiana di ciascuna delle due superfici. Il problema è che i coefficienti della prima forma fondamentale dipendono dalle carte locali che scelgo su $S_1$ e su $S_2$, perciò, con carte locali arbitrarie, pur essendo i coefficienti della I forma fondamentale di $S_1$ (a due a due) diversi da quelli di $S_2$ (e quindi aventi $K_{gauss}$ diverse), potrebbe essere che le curve siano comunque localmente isometriche (è necessario riparametrizzarle opportunamente).
La spiegazione che mi sono dato è la seguente:
Andando a riguardare la dimostrazione del teorema egregium ho trovato che, data un'isometria $F : E \subset S_1 \to F(E) \subset S_2$ ed una parametrizzazione locale $\varphi : U \to \varphi(U) \subset E$, la parametrizzazione locale per $F(\varphi(U))$ non è scelta a caso ma si considera $\psi = F \circ \varphi : U \to F(\varphi(U)) \subset S_2$ e poi si dimostra che i coefficienti dell I f.f. rispetto alle $\varphi , \psi$ sono degli invarianti euclidei. In generale quindi è dura dimostrare che due superfici non sono localmente isometriche, perché bisognerebbe provare che $\forall$ parametrizzazione delle due superfici i coefficienti della I forma fondamentale (che dipendono dalle param. locali fissate) sono funzioni diverse a due a due.
Per affermare che sfera e piano non sono localmente isometriche invece non servono troppe considerazioni perché $K_{\text{piano}} \equiv 0$ e $K_{\text{sfera}} = 1/r^2$ ($r$ raggio della sfera) sono diversi e ambedue funzioni costanti.
Sono considerazioni corrette le mie?
Risposte
Si, in genearle cio' che dici e' corretto...ma per verificare che tra due superfici non ci sia isometria locale non occorre andare a verificare una per una tutte le parametrizzazioni possibili, sarebbe un lavoro infinito! 
Si puo' ragionare per assurdo, ossia prendendo per vero che l'isometria esista, ma poi dimostrare che sarebbe un'assurdita'!
Ora sono in giro e sto scrivendo col cellulare, ma poi ti posto un esempio cosi ti risulta piu' chiaro!
Ciao
Si puo' ragionare per assurdo, ossia prendendo per vero che l'isometria esista, ma poi dimostrare che sarebbe un'assurdita'!
Ora sono in giro e sto scrivendo col cellulare, ma poi ti posto un esempio cosi ti risulta piu' chiaro!
Ciao
Ti ringrazio molto per la risposta. Leggerò volentieri il seguito!
Eccomi
Allora, ho pensato di farti un esempio sfruttando il fatto che il reciproco del th Egregium non vale in generale... è ovvio che poi il medoto utilizzato è estendibile anche per verificare la NON esistenza di una isometria tra due superfici.
Prendiamo come esempio l'elicoide dato dalla parametrizzazione $f(u,v)=(ucosv, usinv, v)$ e la superficie ottenuta ruotando il grafico del logaritmo, ossia $g(u,v)=(usinv, ucosv, log(u))$.
Ora senza dilungarmi troppo in calcoli (che tanto sai fare benissimo) si ottiene che la curvatura dell'elicoide $(K_f)$ è data da:
$K_f=-(1)/((1+u^2)^2)$
e la curvatura della supeficie ottenuta ruotando il grafico del logaritmo $(K_g)$ è data da:
$K_g=-(1)/((1+u^2)^2)$
Come vedi coincidono, quindi si direbbe che le due superfici sono isometriche, ma in realtà non è così....
Come dimostrarlo??
Procediamo per assurdo e quindi (avendo stessa curvatura) prendiamo per vero che siano isiolmetriche, esiterà allora un diffeomorfismo $\phi$ tale che $g=f o \phi$; per maggior chiarezza chiamiamo $\bar u, \bar v$ le coordinate su $f$ e supponiamo che le equazioni di $\phi$ siano $\bar u=\alpha(u,v)$ e $\bar v=\beta(u,v)$.
Se $\phi$ è isometria locale allora $K_g=K_(f) o \phi$, ossia $-(1)/((1+u^2)^2)=-(1)/((1+\bar u^2)^2)$ da cui segue subito che $\bar u=+-u$ cioè $\alpha(u,v)=+-u$.
Se $\phi$ è isometria, allora le due prime forme fondamentali devono coincidere:
$d\bar u^2+(1+\bar u^2)d\bar v=(1+(1)/(u^2))du^2+u^2dv^2$
$d\bar u=+-du$, $d\bar v=\beta_udu+\beta_vdv$ e quindi
$d\bar u^2+(1+\bar u^2)d\bar v=du^2+(1+u^2)(\beta_udu+\beta_vdv)^2=$
$=(1+(1+u^2)\beta^2_u)du^2+2(1+u^2)\beta_u\beta_vdudv+(1+u^2)\beta^2_vdv^2$
che determinano:
$1+(1+u^2)\beta^2_u=1+(1)/(u^2)$
$2(1+u^2)\beta_u\beta_v=0$
$(1+u^2)\beta^2_v=u^2$
la seconda equazione da $\beta_u=0$ oppure $\beta_v=0$, nessuna delle quali è compatibile con le altre due. Quindi $\phi$ non esiste....quindi l'ipotesi iniziale è assurda....non esiste isometria tra l'elicoide e la superficie ottenuta ruotando il grafico del logaritmo!!!
Spero di non aver fatto qualche errore qua e la..comunque il succo è questo!
Qui avevamo difronte un caso abbastanza semplice, ovviamente ci sono casi mooolto piu' complicati, ma l'idea e' quella di procedere cosi...dimostrando che l'esistenza di un'isometria e' un assurdo!
Spero di esserti stato d'aiuto!
Ciaooo
Allora, ho pensato di farti un esempio sfruttando il fatto che il reciproco del th Egregium non vale in generale... è ovvio che poi il medoto utilizzato è estendibile anche per verificare la NON esistenza di una isometria tra due superfici.
Prendiamo come esempio l'elicoide dato dalla parametrizzazione $f(u,v)=(ucosv, usinv, v)$ e la superficie ottenuta ruotando il grafico del logaritmo, ossia $g(u,v)=(usinv, ucosv, log(u))$.
Ora senza dilungarmi troppo in calcoli (che tanto sai fare benissimo) si ottiene che la curvatura dell'elicoide $(K_f)$ è data da:
$K_f=-(1)/((1+u^2)^2)$
e la curvatura della supeficie ottenuta ruotando il grafico del logaritmo $(K_g)$ è data da:
$K_g=-(1)/((1+u^2)^2)$
Come vedi coincidono, quindi si direbbe che le due superfici sono isometriche, ma in realtà non è così....
Come dimostrarlo??
Procediamo per assurdo e quindi (avendo stessa curvatura) prendiamo per vero che siano isiolmetriche, esiterà allora un diffeomorfismo $\phi$ tale che $g=f o \phi$; per maggior chiarezza chiamiamo $\bar u, \bar v$ le coordinate su $f$ e supponiamo che le equazioni di $\phi$ siano $\bar u=\alpha(u,v)$ e $\bar v=\beta(u,v)$.
Se $\phi$ è isometria locale allora $K_g=K_(f) o \phi$, ossia $-(1)/((1+u^2)^2)=-(1)/((1+\bar u^2)^2)$ da cui segue subito che $\bar u=+-u$ cioè $\alpha(u,v)=+-u$.
Se $\phi$ è isometria, allora le due prime forme fondamentali devono coincidere:
$d\bar u^2+(1+\bar u^2)d\bar v=(1+(1)/(u^2))du^2+u^2dv^2$
$d\bar u=+-du$, $d\bar v=\beta_udu+\beta_vdv$ e quindi
$d\bar u^2+(1+\bar u^2)d\bar v=du^2+(1+u^2)(\beta_udu+\beta_vdv)^2=$
$=(1+(1+u^2)\beta^2_u)du^2+2(1+u^2)\beta_u\beta_vdudv+(1+u^2)\beta^2_vdv^2$
che determinano:
$1+(1+u^2)\beta^2_u=1+(1)/(u^2)$
$2(1+u^2)\beta_u\beta_v=0$
$(1+u^2)\beta^2_v=u^2$
la seconda equazione da $\beta_u=0$ oppure $\beta_v=0$, nessuna delle quali è compatibile con le altre due. Quindi $\phi$ non esiste....quindi l'ipotesi iniziale è assurda....non esiste isometria tra l'elicoide e la superficie ottenuta ruotando il grafico del logaritmo!!!
Spero di non aver fatto qualche errore qua e la..comunque il succo è questo!
Qui avevamo difronte un caso abbastanza semplice, ovviamente ci sono casi mooolto piu' complicati, ma l'idea e' quella di procedere cosi...dimostrando che l'esistenza di un'isometria e' un assurdo!
Spero di esserti stato d'aiuto!
Ciaooo
Scusami per il ritardo. Sei stato di grande aiuto, grazie per l'esempio!
Di nulla! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo