Geodetiche invarianti per isometrie locali
Sto studiando le geodetiche in geometria differenziale sul Do Carmo.
Per trovare le geodetiche di un cilindro (di base una circonferenza) si nota che le curve geodetiche sono invarianti per isometrie locali e quindi siccome il piano e il cilindro sono localmente isometrici tramite una parametrizzazione del cilindro, si trovano alcune geodetiche come immagini di rette del piano tramite tale parametrizzazione.
Non ho però ben capito da dove viene il fatto che essere una geodetica è invariante per isometrie locali.
Per trovare le geodetiche di un cilindro (di base una circonferenza) si nota che le curve geodetiche sono invarianti per isometrie locali e quindi siccome il piano e il cilindro sono localmente isometrici tramite una parametrizzazione del cilindro, si trovano alcune geodetiche come immagini di rette del piano tramite tale parametrizzazione.
Non ho però ben capito da dove viene il fatto che essere una geodetica è invariante per isometrie locali.
Risposte
Beh... le rette sono geodetiche del piano. L'immagine tramite un'isometria locale di una geodetica è ancora una geodetica... quindi l'immagine delle rette tramite l'isometria locale tra piano e cilindro sarà composta da geodetiche del cilindro!
Beh è quello che ho scritto io. Sapresti spiegarmi come mai l'immagine tramite un'isometria locale di una geodetica è ancora una geodetica?
Scusa, ho letto male la domanda.
Quella proprietà dovrebbe essere una conseguenza immediata della definizione di geodetica: derivata covariante nulla in ogni punto. Siccome la derivata covariante è un'operazione intrinseca (vedi la dimostrazione del Theorema Egregium su un qualsiasi testo di Geometria differenziale), segue che "essere geodetica" è una proprietà invariante per isometrie locali.
Quella proprietà dovrebbe essere una conseguenza immediata della definizione di geodetica: derivata covariante nulla in ogni punto. Siccome la derivata covariante è un'operazione intrinseca (vedi la dimostrazione del Theorema Egregium su un qualsiasi testo di Geometria differenziale), segue che "essere geodetica" è una proprietà invariante per isometrie locali.
Eh già, come detto da "maurer" la derivata covariante è un'invariante per isometria, segue che anche le geodetiche lo sono.
Siete tutti molto convincenti 
ma non riesco a vedere l'invarianza delle derivata covariante per isometrie.
Serve forse la sua scrittura in termini dei simboli di Christoffel per vedere questo fatto?
ma non riesco a vedere l'invarianza delle derivata covariante per isometrie.Serve forse la sua scrittura in termini dei simboli di Christoffel per vedere questo fatto?
"GreenLink":
Siete tutti molto convincenti
Serve forse la sua scrittura in termini dei simboli di Christoffel per vedere questo fatto?
"maurer":
Siccome la derivata covariante è un'operazione intrinseca (vedi la dimostrazione del Theorema Egregium su un qualsiasi testo di Geometria differenziale)[...]
Sì, l'idea è proprio quella di esprimere la derivata covariante per mezzo dei simboli di Christoffel ed osservare che questi sono intrinseci (possono essere espressi in funzione dei coefficienti della prima forma quadratica fondamentale e delle loro derivate).
La derivata coviarante di un campo di vettori $w$, relativo al vettore $y=(u',v')$, definito lungo una curva $\alpha$ su una superficie $S$ in un punto $P$ si scrive come:
$ \frac{Dw}{dt}=(a'+\Gamma_{11}^1au'+\Gamma_{12}^1av'+\Gamma_{12}^1bu'+\Gamma_{22}^1bv')x_u + (b'+\Gamma_{11}^2au'+\Gamma_{12}^2av'+\Gamma_{12}^2bu'+\Gamma_{22}^2bv')x_v$
dove $w(t)=a(u(t),v(t))x_u+b(u(t),v(t))x_v$
Ora, se voglio calcolare la derivata covariante nel trasformato di $P$ secondo un'isometria, so che i simboli di Christoffel rimangono gli stessi, ma non riesco a capire cosa succede alle altre quantità che compaiono in questa espressione
$ \frac{Dw}{dt}=(a'+\Gamma_{11}^1au'+\Gamma_{12}^1av'+\Gamma_{12}^1bu'+\Gamma_{22}^1bv')x_u + (b'+\Gamma_{11}^2au'+\Gamma_{12}^2av'+\Gamma_{12}^2bu'+\Gamma_{22}^2bv')x_v$
dove $w(t)=a(u(t),v(t))x_u+b(u(t),v(t))x_v$
Ora, se voglio calcolare la derivata covariante nel trasformato di $P$ secondo un'isometria, so che i simboli di Christoffel rimangono gli stessi, ma non riesco a capire cosa succede alle altre quantità che compaiono in questa espressione
Beh un'isometria conserva le norme e gli angoli fa i vettori.....
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