[Geo. diff.] Provocazione: cancellare cento anni di storia
Oggi per l'\(n\)-esima volta ho realizzato di avere ingurgitato, durante i vari corsi di geometria della mia Università, delle nozioni senza averne capito minimamente il significato e la provenienza. La colpa è del formalismo iper-astratto e di un certo piacere perverso dei geometri nel nascondere accuratamente sotto di esso, MOLTO sotto, ogni barlume di idea che possa filtrare dalla loro trattazione. Sospetto addirittura che molti di loro si siano tanto sforzati di nascondere le idee che se le siano dimenticate, se mai le hanno sapute.
In questo sono in eccellente compagnia. Ho trovato bacchettate ai geometri sia sul libro di Spivak (vol. I, 3a ed., pag. 126 e pag. 217) sia sul libro di Lang (Fundamentals of differential geometry, pag. vi, "I also hope to convince the experts that nothing is lost..."). Mi viene quindi in mente una idea provocatoria: perché non ripristinare nei corsi curricolari di geometria il formalismo in coordinate della geometria differenziale classica? Successivamente si potrebbero fare dei corsi integrativi (facoltativi) per studiare il formalismo moderno e questi sarebbero grandemente agevolati dalla grossa dose di intuizione maturata in precedenza. Attualmente, nella stragrande maggioranza dei casi, i corsi di geometria vanno completamente buttati: lo studente medio inghiotte acriticamente nozioni che non può capire, da l'esame, dimentica tutto per sempre.
Che ne pensate? I fisici fanno così: i più dei loro studenti non hanno idea di cosa sia un "fibrato" o un "gruppo di struttura", ma usano fluentemente queste nozioni, senza saperlo, nei loro calcoli in coordinate. Parallelamente, un matematico sa ripetere a pappagallo queste definizioni in un intorno del suo esame ma non ha idea di cosa significhino e nel volgere di qualche mese si scorda pure quelle. Il metodo della geometria moderna è meraviglioso e ha portato a risultati irraggiungibili dalla complicata macchina delle coordinate: ma per il laureato in matematica non interessato alla ricerca proprio in quell'ambito, sarebbe tanto più utile una bella dose di intuizione e di pratica in più.
In questo sono in eccellente compagnia. Ho trovato bacchettate ai geometri sia sul libro di Spivak (vol. I, 3a ed., pag. 126 e pag. 217) sia sul libro di Lang (Fundamentals of differential geometry, pag. vi, "I also hope to convince the experts that nothing is lost..."). Mi viene quindi in mente una idea provocatoria: perché non ripristinare nei corsi curricolari di geometria il formalismo in coordinate della geometria differenziale classica? Successivamente si potrebbero fare dei corsi integrativi (facoltativi) per studiare il formalismo moderno e questi sarebbero grandemente agevolati dalla grossa dose di intuizione maturata in precedenza. Attualmente, nella stragrande maggioranza dei casi, i corsi di geometria vanno completamente buttati: lo studente medio inghiotte acriticamente nozioni che non può capire, da l'esame, dimentica tutto per sempre.
Che ne pensate? I fisici fanno così: i più dei loro studenti non hanno idea di cosa sia un "fibrato" o un "gruppo di struttura", ma usano fluentemente queste nozioni, senza saperlo, nei loro calcoli in coordinate. Parallelamente, un matematico sa ripetere a pappagallo queste definizioni in un intorno del suo esame ma non ha idea di cosa significhino e nel volgere di qualche mese si scorda pure quelle. Il metodo della geometria moderna è meraviglioso e ha portato a risultati irraggiungibili dalla complicata macchina delle coordinate: ma per il laureato in matematica non interessato alla ricerca proprio in quell'ambito, sarebbe tanto più utile una bella dose di intuizione e di pratica in più.
Risposte
I fisici amano fare tanti calcoli inutili. La notazione ti Einstein, che amano tanto, è decisamente meno potente dell'uso delle forme differenziale e ho visto persino fisici consigliarle per riscrivere in modo più potente le leggi dell'elettromagnetismo (http://www.physics.nus.edu.sg/~phyteoe/mm4/ vedi articolo in miscellaneous).
Dopo di che Lang ha una notazione tutta sua, Spivak non lo conosco bene.
Tieni conto che esiste anche un libro come questo http://books.google.it/books/about/Glob ... edir_esc=y (che tra l'altro trovo scritto abbastanza bene).
Dopo di che Lang ha una notazione tutta sua, Spivak non lo conosco bene.
Tieni conto che esiste anche un libro come questo http://books.google.it/books/about/Glob ... edir_esc=y (che tra l'altro trovo scritto abbastanza bene).
"vict85":
Tieni conto che esiste anche un libro come questo http://books.google.it/books/about/Glob ... edir_esc=y (che tra l'altro trovo scritto abbastanza bene).
Questo libro è molto interessante, da un po' cercavo proprio qualcosa del genere. Grazie!
Quanto al resto, io sono d'accordo su tutto, anche sul fatto che i fisici fanno conti inutili (spesso taroccando i risultati e barando a vari livelli). Resta il fatto che loro almeno i conti li fanno. Il matematico medio invece di geometria non sa un tubo.
Personalmente ho seguito un corso e mezzo di geometria differenziale: mezzo corso di geometria differenziale sulle curve (tutto spiegato in coordinate) e un corso di geometria differenziale sulle varietà differenziabili; però il prof. di quest'ultimo corso ha sempre fatto i calcoli in coordinate quando serviva e quando non serviva i calcoli ce li lasciava per esercizio (meno male, altrimenti non avrei superato l'esame scritto).
In effetti, la geometria differenziale senza il calcolo in coordinate è niente altro che una palla iper-gonfiata !
Per quanto riguarda l'ignoranza del matematico medio nei confronti della geometria, a partire dalle idee di fondo fino alle possibili applicazioni pure e non, c'è solo da piangere
... comunque leggendo questo thread ho capito perché il prof non voleva sentire le filastrocche ma sentirsi spiegare le idee all'esame orale. 
Per quanto riguarda la tua provocazione, io la estenderei anche all'algebra... con le opportune modifiche!
In effetti, la geometria differenziale senza il calcolo in coordinate è niente altro che una palla iper-gonfiata !
Per quanto riguarda l'ignoranza del matematico medio nei confronti della geometria, a partire dalle idee di fondo fino alle possibili applicazioni pure e non, c'è solo da piangere
... comunque leggendo questo thread ho capito perché il prof non voleva sentire le filastrocche ma sentirsi spiegare le idee all'esame orale. Per quanto riguarda la tua provocazione, io la estenderei anche all'algebra... con le opportune modifiche!
Sarò breve perché tra poco ho lezione. Il Lang non è certamente rappresentativo delle convenzioni attuali per quanto riguarda la geometria differenziale. Uno degli obiettivi del libro è infatti quello di mostrare, più agli addetti ai lavori (ai geometri) che agli studenti alle prime armi, come un approccio coordinate-free possa essere vantaggioso nell'affrontare molti problemi. Si tratta di un libro che consiglierei in seconda lettura per chi sapesse già gli argomenti e fosse interessato ad un approccio diverso da quello solito oppure a persone con una certa abitudine a lavorare con la teoria delle categorie e che sono abituati a pensare alle derivazioni come a mappe lineari. Per gli altri, può sembrare un po' ostico, soprattutto all'inizio. E' in effetti solo la parte iniziale che trae vantaggio dall'uso delle coordinate, in quasi tutto il resto della teoria, appena si arriva ad argomenti più complicati, le coordinate sono solo di intralcio. Ti invito per esempio a considerare la differenza tra l'uso dei tensori di curvatura e delle corrispondenti equazioni locali (nella definizione della PDE del Ricci flow). Io preferisco di gran lunga l'approccio più astratto quanto gli oggetti studiati diventano più complicati. All'inizio è invece probabilmente comodo considerare le coordinate per ottenere formule esplicite da usare nella pratica. Ricordati inoltre che la geometria si occupa principalmente di proprietà globali degli spazi presi in considerazione e l'approccio con le coordinate è invece locale.
Credo che parte dei tuoi problemi a comprendere intuitivamente gli oggetti della geometria differenziale sia colpa del tuo professore e della sua scelta dei testi di riferimento, non essendo stato in grado di trasmetterti il significato geometrico e intuitivo di questi oggetti. Ti invito a chiedere chiarimenti sul forum se hai dubbi sul significato geometrico o intuitivo di qualche oggetto in particolare. Sono certo che ci saranno diversi disposti a chiarire questi dubbi.
Credo che parte dei tuoi problemi a comprendere intuitivamente gli oggetti della geometria differenziale sia colpa del tuo professore e della sua scelta dei testi di riferimento, non essendo stato in grado di trasmetterti il significato geometrico e intuitivo di questi oggetti. Ti invito a chiedere chiarimenti sul forum se hai dubbi sul significato geometrico o intuitivo di qualche oggetto in particolare. Sono certo che ci saranno diversi disposti a chiarire questi dubbi.
Io nella matematica non ho mai capito nulla quando c'erano di mezzo le coordinate.
Segnalo una lettura simpatica su questo argomento, trovata sul libro Applied differential geometry di Burke (un testo di geometria differenziale per fisici): è il paragrafo 41, pag.268 "When not to use [differential] forms". Non ci ho capito molto ma è interessante lo stesso: dopo tutto un capitolo speso a illustrare i benefici dell'uso delle forme differenziali per le applicazioni alla fisica (nello spirito del precedente intervento di vict85), passa a spiegarne le limitazioni confrontando con il "vecchio" metodo degli indici.
Così mi piacerebbe mi fosse stata insegnata la geometria, con la consapevolezza di essere di fronte alla formalizzazione di un metodo intuitivo ma molto complicato, quello degli indici, fatta a spese di ingegnose costruzioni algebriche. Invece i geometri si sono limitati ad elencare le costruzioni algebriche, svuotandole completamente di tutto il loro significato e anche della loro bellezza. E' solo adesso che mi sto finalmente appassionando alla geometria differenziale, sapete. Mi piace molto e proprio per questo sono furioso con i geometri.
Così mi piacerebbe mi fosse stata insegnata la geometria, con la consapevolezza di essere di fronte alla formalizzazione di un metodo intuitivo ma molto complicato, quello degli indici, fatta a spese di ingegnose costruzioni algebriche. Invece i geometri si sono limitati ad elencare le costruzioni algebriche, svuotandole completamente di tutto il loro significato e anche della loro bellezza. E' solo adesso che mi sto finalmente appassionando alla geometria differenziale, sapete. Mi piace molto e proprio per questo sono furioso con i geometri.
Ma quali sarebbero esattamente queste costruzioni astratte che ti hanno fermato allo studio della geometria differenziale fino ad ora? Comunque ripeto, tutti i geometri differenziali che ho conosciuto sono sempre stati abbastanza interessati a spiegare il significato geometrico delle loro costruzioni, facendo esempi o dimostrandone delle proprietà. Sarei quindi tentato di dire che sei stato un po' sfortunato.. Però forse sono semplicemente molto più abituato a lavorare con concetti algebrici più avanzati rispetto a te (ho dopotutto fatto una tesi di topologia algebrica).
Vedi per esempio, il concetto di fibrato con gruppo di struttura che dicevo all'inizio. Si tratta forse della singola costruzione più importante di tutta la teoria, e (correggimi se sbaglio) serve a dare una veste globale ai classici oggetti ad indici che si trasformano bene sotto l'azione di certi gruppi di trasformazioni. Rientrano in questa macro-categoria i vettori controvarianti, i vettori covarianti, i tensori di tutte le razze: è una costruzione meravigliosa, una grande idea unificante che prepara la strada a teoremi profondi.
Ti pare possibile rendere questa idea semplicemente buttando lì la definizione di "insieme fibrato", poi di "varietà fibrata" e infine dando il colpo di grazia con la definizione di "gruppo di struttura"? Sono definizioni complicate, non è possibile digerirle senza motivazione, anche se sei abituato all'algebra più astratta. Eppure si fa così qui a Bari ma a quanto vedo sulle varie dispense di geometria differenziale delle università italiane è così da molte parti. Nessuno si prende la briga di illustrare la provenienza dell'idea e anche la sua potenza: i fisici fanno conti con i tensori già al secondo anno di università!
Ecco perché proponevo di tornare al formalismo classico. Mi pare più vicino alle idee originarie e non è possibile ignorarlo completamente.
Ti pare possibile rendere questa idea semplicemente buttando lì la definizione di "insieme fibrato", poi di "varietà fibrata" e infine dando il colpo di grazia con la definizione di "gruppo di struttura"? Sono definizioni complicate, non è possibile digerirle senza motivazione, anche se sei abituato all'algebra più astratta. Eppure si fa così qui a Bari ma a quanto vedo sulle varie dispense di geometria differenziale delle università italiane è così da molte parti. Nessuno si prende la briga di illustrare la provenienza dell'idea e anche la sua potenza: i fisici fanno conti con i tensori già al secondo anno di università!
Ecco perché proponevo di tornare al formalismo classico. Mi pare più vicino alle idee originarie e non è possibile ignorarlo completamente.
Però così ti contraddici.. 
Metti insieme concetti come i vettori covarianti e controvarianti, tipici soprattutto della fisica (matematica) e dell'approccio con le coordinate (nell'approccio senza coordinate sono inutili), con concetti effettivamente più astratti come i G-fibrati.
Se guardi la definizione stessa di vettori covarianti e controvarianti si parla di componenti e basi e questi oggetti hanno SOLO senso quando si usa l'approccio seguito nella fisica (matematica) con le coordinate. I termini sono poi anche utilizzati quando si parla di tensori costruiti a partire da copie di uno spazio vettoriale e da copie del suo duale. Si parla quindi di parte covariante e controvariante. Personalmente ritengo che siano termini pessimi, ma sono "tradizionali" (di certo non inventati dai geometri recenti). Insomma, se odi davvero questi termini, è nell'approccio moderno e astratto che ti devi indirizzare, non certo quello dei fisici e delle coordinate.
Venendo ai fibrati, sono semplicemente degli spazi che sono localmente descrivibili come prodotti. Puoi quindi pensare ad un fibrato come allo spazio base al quale hai incollato una copia della fibra in ogni punto. Gli esempi più semplici sono il fibrato (co)tangente che non è altro che l'unione disgiunta degli spazi (co)tangenti. Mi sembra un concetto abbastanza intuitivo. Le sezioni sono a questo punto il dato di un elemento della fibra per ogni punto (elementi presi con una certa regolarità). Se quindi partiamo con il fibrato tangente otteniamo i campi vettoriali (funzioni "differenziali" che associano ad ogni punto un vettore dello spazio tangente), se partiamo dal fibrato \(S^2\,T^* M\) otteniamo il dato di una mappa bilineare simmetrica per ogni punto.. Questa è la costruzione tipica usata in geometria differenziale per associare qualcosa ad ogni punto dello spazio in modo differenziale. E' certamente più intuitiva dei metodi utilizzati in geometria algebrica.. In questo contesto, i vettori sono utilizzati perché permettono di indicare in modo abbastanza conciso gli spazi di mappe lineari. Non sono comunque oggetti inventati dalla geometria differenziale, ma strumenti dell'algebra multilineare classica. Non sono particolarmente intuitivi, ma sono abbastanza importanti per quasi tutta la geometria e algebra. Non puoi quindi fare altro che accettarli e studiarli. Una volta che si fa l'abitudine a questa notazione, diventa abbastanza semplice.
I \(G\)-fibrati sono qualcosa di più complicato e astratto ovviamente, ma alla fine abbastanza concreto. Un fibrato con gruppo di struttura \(G\) non è altro che un fibrato in cui le mappe di transizione sono date da elementi di un qualche gruppo \(G\) di trasformazioni. Questo significa principalmente che se abbiamo il dato di un qualche oggetto in un punto dello spazio base (quindi un elemento del fibrato) rispetto ad una qualche coordinata locale (che supponiamo corrispondere ad una carta locale trivializzante) allora la trasformazione che manda questo oggetto nello stesso oggetto rispetto ad un'altra coordinata locale appartiene al gruppo \(G\).
Tutto questo è molto semplificato ma spero di aver fatto un minimo chiarezza.
Metti insieme concetti come i vettori covarianti e controvarianti, tipici soprattutto della fisica (matematica) e dell'approccio con le coordinate (nell'approccio senza coordinate sono inutili), con concetti effettivamente più astratti come i G-fibrati. Se guardi la definizione stessa di vettori covarianti e controvarianti si parla di componenti e basi e questi oggetti hanno SOLO senso quando si usa l'approccio seguito nella fisica (matematica) con le coordinate. I termini sono poi anche utilizzati quando si parla di tensori costruiti a partire da copie di uno spazio vettoriale e da copie del suo duale. Si parla quindi di parte covariante e controvariante. Personalmente ritengo che siano termini pessimi, ma sono "tradizionali" (di certo non inventati dai geometri recenti). Insomma, se odi davvero questi termini, è nell'approccio moderno e astratto che ti devi indirizzare, non certo quello dei fisici e delle coordinate.
Venendo ai fibrati, sono semplicemente degli spazi che sono localmente descrivibili come prodotti. Puoi quindi pensare ad un fibrato come allo spazio base al quale hai incollato una copia della fibra in ogni punto. Gli esempi più semplici sono il fibrato (co)tangente che non è altro che l'unione disgiunta degli spazi (co)tangenti. Mi sembra un concetto abbastanza intuitivo. Le sezioni sono a questo punto il dato di un elemento della fibra per ogni punto (elementi presi con una certa regolarità). Se quindi partiamo con il fibrato tangente otteniamo i campi vettoriali (funzioni "differenziali" che associano ad ogni punto un vettore dello spazio tangente), se partiamo dal fibrato \(S^2\,T^* M\) otteniamo il dato di una mappa bilineare simmetrica per ogni punto.. Questa è la costruzione tipica usata in geometria differenziale per associare qualcosa ad ogni punto dello spazio in modo differenziale. E' certamente più intuitiva dei metodi utilizzati in geometria algebrica.. In questo contesto, i vettori sono utilizzati perché permettono di indicare in modo abbastanza conciso gli spazi di mappe lineari. Non sono comunque oggetti inventati dalla geometria differenziale, ma strumenti dell'algebra multilineare classica. Non sono particolarmente intuitivi, ma sono abbastanza importanti per quasi tutta la geometria e algebra. Non puoi quindi fare altro che accettarli e studiarli. Una volta che si fa l'abitudine a questa notazione, diventa abbastanza semplice.
I \(G\)-fibrati sono qualcosa di più complicato e astratto ovviamente, ma alla fine abbastanza concreto. Un fibrato con gruppo di struttura \(G\) non è altro che un fibrato in cui le mappe di transizione sono date da elementi di un qualche gruppo \(G\) di trasformazioni. Questo significa principalmente che se abbiamo il dato di un qualche oggetto in un punto dello spazio base (quindi un elemento del fibrato) rispetto ad una qualche coordinata locale (che supponiamo corrispondere ad una carta locale trivializzante) allora la trasformazione che manda questo oggetto nello stesso oggetto rispetto ad un'altra coordinata locale appartiene al gruppo \(G\).
Tutto questo è molto semplificato ma spero di aver fatto un minimo chiarezza.
Si, ti ringrazio, sono cose che ho capito ormai (più o meno - il tuo riassunto mi è utile comunque). E poi non "odio" i vettori covarianti o controvarianti: era solo un esempio per giustificare la mia provocazione.
Io sono convinto che il metodo moderno sia valido, non pensare che io sia su posizioni tipo "si stava meglio quando si stava peggio". Riassumendo, la questione che sollevo è di livello didattico:
Problema: Nei corsi di geometria le idee sono seppellite dal formalismo.
Soluzione proposta da me: Prendere spunto dai fisici che usano ingenuamente il formalismo classico.
Tu non sei d'accordo e la tua è una opinione che tengo in considerazione: io non sono affatto un esperto quindi questa mia opinione è qui tanto per fare due chiacchiere e per vedere che tipo di smentite riceve.
Io sono convinto che il metodo moderno sia valido, non pensare che io sia su posizioni tipo "si stava meglio quando si stava peggio". Riassumendo, la questione che sollevo è di livello didattico:
Problema: Nei corsi di geometria le idee sono seppellite dal formalismo.
Soluzione proposta da me: Prendere spunto dai fisici che usano ingenuamente il formalismo classico.
Tu non sei d'accordo e la tua è una opinione che tengo in considerazione: io non sono affatto un esperto quindi questa mia opinione è qui tanto per fare due chiacchiere e per vedere che tipo di smentite riceve.
Ma vedi, io sono d'accordo sul fatto che un approccio eccessivamente astratto sia poco adatto ad un primo corso di geometria differenziale. In effetti, qualche anno fa, ancora del tutto digiuno di questi concetti, avevo provato a studiare qualcosa sul Lang e l'avevo trovato molto ostico e in alcune parti abbastanza oscuro. Rileggendolo adesso mi accorgo come in realtà il suo approccio sia molto semplice, ma allora non avevo gli strumenti e la maturità matematica per comprenderlo. Quello sul quale non sono però d'accordo è che questo sia l'approccio seguiti nei corsi di geometria differenziale. Non è stato così nella mia esperienza. Le coordinate sono sempre state presenti e il significavo intuitivo e geometrico delle diverse costruzione è sempre stato spiegato.
Altra cosa sulla quale non sono d'accordo riguarda invece il formalismo dei fisici. L'ho sempre odiato e ritengo che sia incredibilmente ostico e oscuro. Soprattutto se si fa uso della notazione di Einstein.
Altra cosa sulla quale non sono d'accordo riguarda invece il formalismo dei fisici. L'ho sempre odiato e ritengo che sia incredibilmente ostico e oscuro. Soprattutto se si fa uso della notazione di Einstein.
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