Geo. Diff. - Curvatura e massima distanza dall'origine

[Sk_Anonymous]

Ho il seguente

Problema. Sia \(\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^2\) una curva regolare parametrica piana, parametrizzata con la lunghezza d'arco. Si assuma che esista \( t_0 \in (a,b) \) tale che la distanza \( |\alpha (t) |\) dall'origine alla traccia di \(\alpha\) sia massima in \(t_0\). Provare che la curvatura \(k\) di \(\alpha\) in \(t_0\) soddisfa \( |k(t_0)| \ge 1/|\alpha(t_0)|\).

Ho "liberamente" tradotto il testo dall'inglese, e quindi spero di non aver fatto cappellate.
Detto ciò, qualcuno ha da darmi un hint? Non mi viene nulla...

Ringrazio.

[Maci86]

Immagina di trovarti su una sfera di massima distanza, quanto sarebbe la sua curvatura? Forse è più giusto dire circonferenza

[Sk_Anonymous]

Cioè mi stai dicendo di considerare il cerchio osculatore? Ma allora non dovrebbe valere l'uguaglianza, visto che esso approssima la curva fino al secondo ordine?

[Maci86]

Esatto vale l'uguaglianza se il cerchio osculatore è proprio centrato nell'origine, ma questo potrebbe essere più piccolo e allora diventa una disuguaglianza. La parte importante, che in teoria dovresti "dimostrare" è perché il cerchio osculatore non può avere centro oltre l'origine