Generatori spazi vettoriali (teoria)

[fede0033]

Ciao ho dei dubbi su due dimostrazioni presenti sul mio libro. Qualcuno può aiutarmi?

Proposizione 1.
Sia V un K-spazio vettoriale f.g. V= L(v1,...,vn) e supponiamo che uno dei generatori di V sia c.l dei precedenti
vi (i-esimo generatore)= b1v1+....+bi-1vi-1

Allora V= L(v1,....,vi-1,vi+1,....,vn)
cioè il vettore vi può essere scartato senza modificare lo spazio generato.

DIMOSTRAZIONE
dobbiamo provare che
L(v1,v2,...vi-1, vi, vi+1,...,vn) incluso in L(v1,v2,...,vi-1,vi+1,...vn) e viceversa.

allora il viceversa mi è chiaro, anche perché è banale. non capisco l'inclusione quella che ho scritto.
il libro dice di considerare un generico vettore del primo spazio:

v= a1v1+....+ai-1vi-1+aivi+ai+1vi+1+.....anvn
ricordando che vi è c.l. degli altri (scritto sopra) e sostituendo nella precedente uguaglianza avremo

v= (a1+b1)v1+(a2+b2)v2+....+(ai-1+bi-1)vi-1+ai+1vi+1....+anvn
Non capisco quest'ultimo passaggio. Svolgendo i calcoli non mi viene così.



Proposizione 2

Sia V=L(v1,....vn) un K-spazio vettoriale. Allora per ogni h appartenente a K e per ogni i=1,2,.....,n si ha

V= L(v1,v2,.....,vi+hvj,.....,vn) con j diverso da i
cioè ad ogni generatore vi può essere aggiunto un multiplo di qualsiasi altro generatore di V senza alterare lo spazio V.

DIMOSTRAZIONE
Chiaramente V=L(v1,....,vi+hvj,....,vn,vi) ; ma vi=( vi + hvj) -hvj quindi per la proposizione precedente vi può essere scartato dall'ultimo spazio senza alterarlo, cioè la tesi. ( perché?? non mi è chiaro perché arriva a questa conclusione)

[Magma1]

"fede.991":Ciao ho dei dubbi su due dimostrazioni presenti sul mio libro. Qualcuno può aiutarmi?

Proposizione 1.
Sia $V$ un K-spazio vettoriale f.g. $V= L(v_1,...,v_n)$ e supponiamo che uno dei generatori di $V$ sia c.l dei precedenti
$v_i= b_1v_1+....+b_(i-1)v_(i-1)$

Allora $V= L(v_1,....,v_(i-1),v_(i+1),....,v_n)$
cioè il vettore vi può essere scartato senza modificare lo spazio generato.

DIMOSTRAZIONE
dobbiamo provare che
$L(v_1,v_2,...v_(i-1), v_i, v_(i+1),...,v_n) sube L(v_1,v_2,...,v_(i-1),v_(i+1),...v_n)$ e viceversa.

allora il viceversa mi è chiaro, anche perché è banale. non capisco l'inclusione quella che ho scritto.
il libro dice di considerare un generico vettore del primo spazio:

$v= a_1v_1+....+a_(i-1)v_(i-1)+a_iv_i+a_(i+1)v_(i+1)+.....a_nv_n$
ricordando che $v_i$ è c.l. degli altri (scritto sopra) e sostituendo nella precedente uguaglianza avremo

$v= (a_1+b_1)v_1+(a_2+b_2)v_2+....+(a_(i-1)+b_(i-1))v_(i-1)+a_(i+1)v_(i+1)....+a_nv_n$
Non capisco quest'ultimo passaggio. Svolgendo i calcoli non mi viene così.

La dimostrazione è giusta, però, se non scrivi i tuoi calcoli, come facciamo a sapere dove hai sbagliato?

"fede.991":
Proposizione 2

Sia $V=L(v_1,...,v_n)$ un K-spazio vettoriale. Allora per ogni $h in K$ e per ogni $i=1,2,.....,n$ si ha

$V= L(v_1,v_2,.....,v_i+hv_j,.....,v_n)$ con $jne i$
cioè ad ogni generatore vi può essere aggiunto un multiplo di qualsiasi altro generatore di $V$ senza alterare lo spazio $V$.

DIMOSTRAZIONE
Chiaramente $V=L(v_1,....,v_i+hv_j,....,v_n,v_i)$ ; ma $v_i=( v_i + hv_j) -hv_j$ quindi per la proposizione precedente $v_i$ può essere scartato dall'ultimo spazio senza alterarlo, cioè la tesi. ( perché?? non mi è chiaro perché arriva a questa conclusione)

La Proposizione 1 ti dice che ogni vettore $v$, che sia C.L. dei rimanenti vettori, può essere scartato. Tu hai scritto (nella dimostrazione) che $v_i=( v_i + hv_j) -hv_j$, cioè esso è C.L. dei vettori rimanenti, e in quanto tale può essere scartato.