Generatori di un sottospazio

[A.l.e.c.s]

Determinare un insieme di tre generatori del sottospazio \(\displaystyle S \) di \(\displaystyle R^3 \) di equazione \(\displaystyle x_3 = 2x_1+3x_2 \)

secondo me un insieme di 3 generatori potrebbe essere dato da : \(\displaystyle w = (x_1 , x_2 , 2x_1 + 3x_2) \) visto che \(\displaystyle x_3 \) dipende da \(\displaystyle x_1 \) e \(\displaystyle x_2 \) ...vorrei sapere se è giusta la considerazione che ho fatto..Grazie..

[Lorin1]

Come lo hai scritto $S$ dovrebbe essere un insieme (anzi direi un sottospazio) di $RR^3$ bidimensionale, quindi sostanzialmente potresti generalo a partire da due vettori, che potrebbero essere $(1,0,2),(0,1,3)$. Ma dato che tu non vuoi una base, ma un sistema di generatori allora potresti aggiungere un terzo vettore che verifica la condizione $x_3=2x_1+3x_3$
tipo $(1,1,5)$. Questi tre vettori generano il tuo sottospazio.

[A.l.e.c.s]

quindi dovrei mettere per forza dei numeri per avere un insieme di generatori e non lasciare solo l'equazione generica.
un'ultima cosa..hai fatto l'esempio di una base generata dall'equazione \(\displaystyle x_3 = 2x_1 + 3x_2 \) sostituendo dentro una base canonica, vorrei sapere perchè per un generatore non posso fare la stessa cosa.? o meglio dire, cosa significa aggiungere un 3 vettore? Grazie

[Lorin1]

In che senso non posso fare la stessa cosa?!
Il fatto di aggiungere un terzo vettore è dovuto proprio alla richiesta che ti fa l'esercizio. In realtà dato che S è un sottospazio bidimensionale te ne basterebbero solo due di vettori per generare tutto $S$ (questo perchè una base per definizione è un sistema di generatori minimale). Ma a partire dal numero di vettori che generano un sottospazio tu puoi aggiungerne anche degli altri, tanto sempre sistema di generatori rimane; non sarà più una base, ma comunque genera tutto.

[A.l.e.c.s]

la domanda "perchè non posso fare la stessa cosa" l'ho fatta perchè pensavo che per il generatore non si poteva usare una base canonica. ho fatto un pò di confusione. comunque ottima spiegazione. mi hai chiarito moltissimo le idee sul fatto di base e generatore..

[Lorin1]

Di nulla!