Generatori dello spazio
Ciao!
Come si capisce se dei vettori sono anche generatori?
Per esempio: in R2 {(2, -1/3), (-1, 1/6)}
risolvendo il sistema si capisce che sono dipendenti, ma non riesco a capire come
fare per sapere se generano o meno!
Grazie in anticipo!
Come si capisce se dei vettori sono anche generatori?
Per esempio: in R2 {(2, -1/3), (-1, 1/6)}
risolvendo il sistema si capisce che sono dipendenti, ma non riesco a capire come
fare per sapere se generano o meno!
Grazie in anticipo!
Risposte
Prova a rispondere a queste domande:
Cosa significa che sono dipendenti?
Qual è la definizione di "sistema di generatori per uno spazio vettoriale"?
Conosci la definizione di "dimensione di uno spazio vettoriale"?
Cosa significa che sono dipendenti?
Qual è la definizione di "sistema di generatori per uno spazio vettoriale"?
Conosci la definizione di "dimensione di uno spazio vettoriale"?
dipendenti: almeno uno dei vettori si scrive come combinazione dei rimanenti.
dimensione dello spazio vettoriale: il numero dei vettori di una sua qualunque base.
sistema di generatori: vettori che generano un sottospazio.
purtroppo questo non mi aiuta. avresti un altro suggerimento??
dimensione dello spazio vettoriale: il numero dei vettori di una sua qualunque base.
sistema di generatori: vettori che generano un sottospazio.
purtroppo questo non mi aiuta. avresti un altro suggerimento??
Una base è definita come il numero minimo di vettori che servono per generare uno spazio no?
Quindi se un insieme è composto da un numero di vettori minore della sua dimensione non può essere un insieme di generatori.
E' anche vero però che se un insieme ha più elementi di una base non è detto che siano dei generatori.
Affinchè un insieme sia un insieme di generatori deve contenere tanti vettori linearmente indipendenti quanti ne servono per generare lo spazio.
Se lo spazio ha dimensione $n$ quanti vettori linearmente indipendenti servono per generare lo spazio?
E quindi: dato un insieme qualsiasi di $k$ vettori ($k>dimV$) cosa deve succedere affinchè questo insieme sia un insieme di generatori?
Quindi se un insieme è composto da un numero di vettori minore della sua dimensione non può essere un insieme di generatori.
E' anche vero però che se un insieme ha più elementi di una base non è detto che siano dei generatori.
Affinchè un insieme sia un insieme di generatori deve contenere tanti vettori linearmente indipendenti quanti ne servono per generare lo spazio.
Se lo spazio ha dimensione $n$ quanti vettori linearmente indipendenti servono per generare lo spazio?
E quindi: dato un insieme qualsiasi di $k$ vettori ($k>dimV$) cosa deve succedere affinchè questo insieme sia un insieme di generatori?
Allora, se ho capito bene: se lo spazio ha dimensione n, servono n vettori linearmente indipendenti affinchè siano generatori.
Quindi, se si ha un insieme d k vettori, dobbiamo trovare un numero di vettori indipendenti almeno uguale alla dimensione dello spazio. Nell'esempio di sopra non generano perchè dimV = 2 e i due vettori dati sono dipendenti, giusto??
Quindi, se si ha un insieme d k vettori, dobbiamo trovare un numero di vettori indipendenti almeno uguale alla dimensione dello spazio. Nell'esempio di sopra non generano perchè dimV = 2 e i due vettori dati sono dipendenti, giusto??
Sì esatto. Affinchè un insieme di $k$ vettori sia un insieme di generatori deve contenere $dimV$ vettori linearmente indipendenti 
Se invece in questo esempio ho:$ {(1,2),(11, -7sqrt(2)),(-1,1)}$ in R2.
E' evidente che i vettori sono dipendenti, come trovo quanti sono indipendenti? devo ridurre a scala la matrice
$((1,11,-1),(2,-7sqrt(2),1))$ e trovo $((1,11,-1),(,-7sqrt(2)-22,3))$, dopo?
forse per il fatto che i pivot stanno nella prima e nella seconda colonna, il primo e il secondo vettore sono indipendenti, e quindi generano??
Ancora una cosa: Se un esercizio chiede di determinare una base e la dimensione di:
<(0,0,0,0),(1,1,-1,-1),(3,3,-3,3),(2,1,-1,1),(1,2,-2,3)> in R4
i vettori indipendenti in questo caso sono il secondo e il quarto, quindi perchè sono anche generatori?? non dovrebbero esserci almeno quattro vettori indipnedenti, affinchè siano generatori e di conseguenza anche una base?
E' evidente che i vettori sono dipendenti, come trovo quanti sono indipendenti? devo ridurre a scala la matrice
$((1,11,-1),(2,-7sqrt(2),1))$ e trovo $((1,11,-1),(,-7sqrt(2)-22,3))$, dopo?
forse per il fatto che i pivot stanno nella prima e nella seconda colonna, il primo e il secondo vettore sono indipendenti, e quindi generano??
Ancora una cosa: Se un esercizio chiede di determinare una base e la dimensione di:
<(0,0,0,0),(1,1,-1,-1),(3,3,-3,3),(2,1,-1,1),(1,2,-2,3)> in R4
i vettori indipendenti in questo caso sono il secondo e il quarto, quindi perchè sono anche generatori?? non dovrebbero esserci almeno quattro vettori indipnedenti, affinchè siano generatori e di conseguenza anche una base?
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