Generare R3

[Viger1]

ciao a tutti, mi servirebbe una mano con quest'esercizio:

i vettori: v1=(1 2 3) v2=(4 5 12) v3=(0 8 0) generano R3? giustificare la risposta


ho provato a risolverlo ma non sono convinto della mia soluzione...


grazie a tutti

[sigma1]

il det della matrice e' =0, quindi i vettori sono l.d. e in quanto tali NON generano R^3 (avresti bisogno di 3 vettori l.i. per generare R^3)

[Principe2]

anche perchè v3 ha "un pò troppi zeri" e v1 è "un pò troppo simile a v2"... con un pò d'occhio si vede subito che 4v1 - 3/8v3=v2...

[Marvin1]

eh..la combinazione lineare esistente non è proprio così immediata..!!
cmq con il determinante togli ogni dubbio

[Viger1]

grazie per la risposta...
ma avrei un altra domanda, se la matrice e Lin. Dipendente i vettori non possono mai generare Rn?

io sapevo che se la matrice ha infinite soluzioni generano lo stesso...

vi posto un esempio:

i vettori: c1=(1 0 0 0) c2=(1 1 0 0) c3=(1 1 1 -3) c4=(1 1 3 3) c5=(1 1 7 -9)
generano r4?

a me risulta che la matrice sia Lin. Dipende e Singolare e abbia infinite soluzioni...


grazie

[sigma1]

se la matrice e Lin. Dipendente i vettori non possono mai generare Rn?

La domanda non e' molto chiara. Mettiamola cosi': per generare R^n avrai bisogno di n vettori l.i.

Se il det=0 significa che il sitema lineare ha infinite soluzioni, per cui i vettori sono l.d. (fossero l.i. la matrice avrebbe det diverso da zero per cui il sistema avrebbe solo una soluzione cioe' (0,0...) )

Nel tuo ulteriore esempio la storia e' la stessa: avrai bisogno di avere almeno 4 vettori (sei in R^4) l.i.. Come fare piu' alla svelta? Calcola il rango della matrice costruita con i vettori dati e, sapendo che il rango e' il numero di colonne/righe linearmente indipendenti, avrai la soluzione (se il rango e' 4 i vettori generano R^4, se no, no)