Generalizzazione della formula di Grassman
Salve, volevo sapere una cosa, anche se probabilmente la risposta è abbastanza banale... la formula di Grassmann per la somma di sottospazi vettoriali segue esattamente la stessa logica del principio d'inclusione esclusione? In soldoni, se dovessi sommare più di 2 sottospazi vettoriali potrei eseguire un procedimento analogo al calcolo della cardinalità della somma di vari insiemi?
Risposte
No, ed è una cosa sorprendente, anche io ho pensato a lungo che la logica della formula di grassmann fosse la stessa del principio di inclusione-esclusione. Sono sicuro di avere scritto un post con dettagli su questo argomento molti anni fa.
"dissonance":
No, ed è una cosa sorprendente, anche io ho pensato a lungo che la logica della formula di grassmann fosse la stessa del principio di inclusione-esclusione. Sono sicuro di avere scritto un post con dettagli su questo argomento molti anni fa.
Potresti pure approfondire, se possibile.
Anche io avevo lo stesso pensiero.
Poi mi sono reso conto che il problema alla base del fatto che non seguano la stessa logica è che non si ha, che io sappia, molto ‘potere’ sullo spazio $Vcap(U+W)$ se non quella che, sotto opportune ipotesi, questo spazio possa essere lo spazio nullo.
Poi mi sono reso conto che il problema alla base del fatto che non seguano la stessa logica è che non si ha, che io sappia, molto ‘potere’ sullo spazio $Vcap(U+W)$ se non quella che, sotto opportune ipotesi, questo spazio possa essere lo spazio nullo.
@dissonance
Grazie
@Draken
Per completezza: una cosa che si può fare è quella di avere un minimo di potere su quello spazio.
L'idea è quella che magari gli spazi che determinano univocamente la scrittura di un vettore, possano darci una certa possibilità di movimento.
ora sarebbe facile vedere che: se $V$ è in somma diretta di $V_1,...,V_p$ allora $dimV=sum_(k=1)^(p)dimV_k$
quella dimostrazione si basa sul fatto che, per esempio, se $V_1cap(sum_(k=2)^(p)V_k)={0}$
di fatto se $v in V_1cap(sum_(k=2)^(p)V_k) => {(v=v_1),(v=sum_(k=2)^(p)v_k) :}$ con $v_j in V_j$
dall'unicità della scrittura deve essere necessariamente $v_1=v_2=...=v_p=0$ in quanto altrimenti $0$ si potrebbe scrivere in almeno due modi: quella di sopra più la scrittura $underbrace(0+....+0)_p=0$ da cui $v=0$
se ti andasse di provare, per induzione, potresti provare l'implicazione di sopra supponendo che $V$ sia in somma diretta di suoi $p$ sottospazi. Questa è una generalizzazione sufficiente della relazione di grassman(su ipotesi restrittive) in quanto risultano equivalenti se si suppone di avere una somma diretta.
Tra l'altro questa è davvero una bella cosa se consideri che ogni spazio finito-dimensionale si potrebbe scrivere in somma diretta delle rette generate dai vettori di una sua base.
@dissonance
[ot]avevi ragione: curare l'esposizione estetica di uno scritto ha il suo perché[/ot]
Grazie
@Draken
Per completezza: una cosa che si può fare è quella di avere un minimo di potere su quello spazio.
L'idea è quella che magari gli spazi che determinano univocamente la scrittura di un vettore, possano darci una certa possibilità di movimento.
"la Matematica":3nmpyq8g:
dato uno spazio vettoriale $V$ e una famiglia $F={V_kleqV: k=1,...,p}$ di sottospazi, diremo che $V$ è in somma diretta di(dei sottospazi) $V_1,...,V_p$ se valgono le seguenti condizioni:
$-$ $V=sum_(k=1)^(p)V_k$ dove $Sigma$ indica la 'somma di spazi vettoriali'
$-$ $forallv in V exists! v_j in V_j(j=1,...,p) : v=sum_(k=1)^(p)v_k$
ora sarebbe facile vedere che: se $V$ è in somma diretta di $V_1,...,V_p$ allora $dimV=sum_(k=1)^(p)dimV_k$
quella dimostrazione si basa sul fatto che, per esempio, se $V_1cap(sum_(k=2)^(p)V_k)={0}$
di fatto se $v in V_1cap(sum_(k=2)^(p)V_k) => {(v=v_1),(v=sum_(k=2)^(p)v_k) :}$ con $v_j in V_j$
$v in V$ e ${(-v_1+sum_(k=2)^(p)v_k=0),(v=v_1):}$
dall'unicità della scrittura deve essere necessariamente $v_1=v_2=...=v_p=0$ in quanto altrimenti $0$ si potrebbe scrivere in almeno due modi: quella di sopra più la scrittura $underbrace(0+....+0)_p=0$ da cui $v=0$
se ti andasse di provare, per induzione, potresti provare l'implicazione di sopra supponendo che $V$ sia in somma diretta di suoi $p$ sottospazi. Questa è una generalizzazione sufficiente della relazione di grassman(su ipotesi restrittive) in quanto risultano equivalenti se si suppone di avere una somma diretta.
Tra l'altro questa è davvero una bella cosa se consideri che ogni spazio finito-dimensionale si potrebbe scrivere in somma diretta delle rette generate dai vettori di una sua base.
@dissonance
[ot]avevi ragione: curare l'esposizione estetica di uno scritto ha il suo perché[/ot]
Sì, più o meno mi è chiaro il motivo per cui non è possibile considerare le dimensioni dei sottospazi come se corrispondessero alla cardinalità di insiemi. In ogni caso, è possibile ricavare la dimensione della somma di sottospazi vettoriali senza la formula di Grassmann, anche il procedimento è abbastanza laborioso...
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
@fmnq: Grazie mille, bellissimo link.
@Daken: non ti preoccupare troppo, hai visto, persino su un sito per matematici professionisti il fatto che la formula di Grassmann non valga per più di due sottospazi è considerato come sorprendente.
@Daken: non ti preoccupare troppo, hai visto, persino su un sito per matematici professionisti il fatto che la formula di Grassmann non valga per più di due sottospazi è considerato come sorprendente.
"dissonance":
@Daken: non ti preoccupare troppo, hai visto, persino su un sito per matematici professionisti il fatto che la formula di Grassmann non valga per più di due sottospazi è considerato come sorprendente.
Per certi versi è meglio così, significa che il mio dubbio non era così banale.
Scherzi a parte, la risposta sicuramente è sorprendente, ma d'altra parte calcolare la cardinalità della somma di sottospazi senza ricorrere a alla famosa formula è possibile.
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