Generalizzazione a spazi infinito- dimensionali

[Alarico_Folko]

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita e $f: V \to V$ lineare. Allora sappiamo che $V= \ker (T) \oplus Im(T)$.
Possiamo dire che questo fatto continua a valere se $V$ ha dimensione infinita? Oppure quali sono le ipotesi da aggiungere affinchè valga in dimensione infinita?

[ZeroMemory]

attenzione, già in dimensione finita in generale non si ha $V=ker(T)⊕Im(T)$, per esempio

$((0,1),(0,0))$

è tale che il kernel e l'immagine coincidono, essendo entrambi $<(1,0)>$.

In dimensione finita puoi però sempre dire che esiste una potenza $k in NN$, con $k > 0$ tale che $V = Ker(T^k) ⊕ Im(T^k)$ (e tale decomposizione è banale se e solo se T è nilpotente o bigettiva)

Ora io gli spazi di dimensione infinita praticamente non li ho mai studiati, comunque se consideri la derivazione $D$ sullo spazio dei polinomi a coefficienti in $RR$, $RR[t]$, $D$ e surgettivo, perciò anche tutte le sue potenze, ma Ker(D) non è banale, perciò nemmeno i kernel di tutte le sue potenze (le potenze le consideriamo di esponente > 0, chiaramente), perciò non esiste $k > 0$ tale che sia $RR[t] = Ker(D^k) ⊕ Im(D^k)$.