Generalized orthogonal group O(p,q) e proprietà
Salve a tutti, chiedo aiuto nella risoluzione del seguente esercizio. Ho definito il mio spazio vettoriale $V~=R^(p+q)$ e la metrica su di esso $G$ di segnatura $(p,q)$ la quale mi permette di definire la mappa $(..,..)_G:VxxV->R$. Ho poi definito il Generalized Orthogonal Group $O(p,q)$ come $O(p,q)={A in End(R^(p+q)) : A\ is\ G-Orthogonal}$ dove un elemento $A$ è G-Orthogonal se $(Av,Aw)_G=(v,w)_G , AA v,w in V$. Ora mi chiede di dimostrare la seguente:
$1) A in O(p,q) iff A^(T)GA=G$
Dalla soluzione di questa mi chiede di dimostrare inoltre che:
$2) O(p,q)$ è un sottogruppo chiuso del General Linear Group $GL(R^(p+q))$
Vi ringrazio in anticipo per qualunque tipo di aiuto riuscirete a offrirmi nella risoluzione di questo esercizio.
$1) A in O(p,q) iff A^(T)GA=G$
Dalla soluzione di questa mi chiede di dimostrare inoltre che:
$2) O(p,q)$ è un sottogruppo chiuso del General Linear Group $GL(R^(p+q))$
Vi ringrazio in anticipo per qualunque tipo di aiuto riuscirete a offrirmi nella risoluzione di questo esercizio.
Risposte
C'è solo una possibile definizione di \((-,-)_G\) che rende vero 1: dati due vettori \(x,y\), \((x,y)_G:=x^tGy\). A questo punto è sufficiente controllare che \(A^tGA=G\) su una base.
Per quanto riguarda 2, la condizione che definisce \(O(p,q)\) consiste di una intersezione (finita) di sottospazi di \(\mathbb{R}^{(p+q)^2}\); nella topologia ovvia su \(\text{GL}(\mathbb{R}^{p+q})\subseteq \mathbb{R}^{(p+q)^2}\), questi sottospazi sono chiusi (perché sono luoghi degli zeri di funzioni differenziabili di dominio \(\mathbb{R}^{(p+q)^2}\)), e una intersezione finita di chiusi è chiusa in ogni topologia.
Per quanto riguarda 2, la condizione che definisce \(O(p,q)\) consiste di una intersezione (finita) di sottospazi di \(\mathbb{R}^{(p+q)^2}\); nella topologia ovvia su \(\text{GL}(\mathbb{R}^{p+q})\subseteq \mathbb{R}^{(p+q)^2}\), questi sottospazi sono chiusi (perché sono luoghi degli zeri di funzioni differenziabili di dominio \(\mathbb{R}^{(p+q)^2}\)), e una intersezione finita di chiusi è chiusa in ogni topologia.
Si sul primo punto ora è tutto molto più chiaro, grazie mille. Per quanto riguarda l'implicazione da destra verso sinistra invece come dovrei procedere?
Per il secondo punto penso di aver capito il ragionamento. Se invece volessi dimostrarlo a partire dal risultato ottenuto nel primo come potrei fare?
Da un precedente esercizio ho pensato di partire sapendo che il determinante di $A$, dalla relazione ottenuta in $1)$, può essere solo $detA=+-1$. Da tale osservazione so solamente che gli elementi con $detA=1$ appartenenti a $SO(p,q)$ formano un gruppo chiuso ma non saprei dire niente sull'intero gruppo e non so bene come procedere. Per ora è l'unica idea che ho avuto dovendo partire dal risultato dimostrato in $1)$.
Ringrazio anticipatamente per ogni tipo di aiuto offerto.
Per il secondo punto penso di aver capito il ragionamento. Se invece volessi dimostrarlo a partire dal risultato ottenuto nel primo come potrei fare?
Da un precedente esercizio ho pensato di partire sapendo che il determinante di $A$, dalla relazione ottenuta in $1)$, può essere solo $detA=+-1$. Da tale osservazione so solamente che gli elementi con $detA=1$ appartenenti a $SO(p,q)$ formano un gruppo chiuso ma non saprei dire niente sull'intero gruppo e non so bene come procedere. Per ora è l'unica idea che ho avuto dovendo partire dal risultato dimostrato in $1)$.
Ringrazio anticipatamente per ogni tipo di aiuto offerto.
Devi dimostrare che $A in GL(R^(p+q))$ e questo è vero se A è invertibile, ovvero $det(A^T)=det(A)!=0$
Sappiamo che $det(G)!=0$ dalla segnatura, quindi dal punto 1) deduciamo che:
$det(A^TGA)=det(A^T)det(G)det(A)=[det(A)]^2det(G)=det(G) rArr [det(A)]^2=1 rArr det(A)=+-1$
Ora consideriamo due matrici $A,B in O(p,q)$ e il loro prodotto $AB$.
Abbiamo che $(AB)^TGAB=B^T[A^TGA]B=B^TGB=G$
Stessa cosa per $BA$
Quindi $AB,BA in O(p,q)$ e così via.
Sappiamo che $det(G)!=0$ dalla segnatura, quindi dal punto 1) deduciamo che:
$det(A^TGA)=det(A^T)det(G)det(A)=[det(A)]^2det(G)=det(G) rArr [det(A)]^2=1 rArr det(A)=+-1$
Ora consideriamo due matrici $A,B in O(p,q)$ e il loro prodotto $AB$.
Abbiamo che $(AB)^TGAB=B^T[A^TGA]B=B^TGB=G$
Stessa cosa per $BA$
Quindi $AB,BA in O(p,q)$ e così via.
Grazie per la risposta. Sull'appartenenza di $A$ a $GL(R^(p+q))$ è tutto chiaro. Ma come dimostro che sia anche chiuso partendo dalla proprietà $A^(T)GA=G$?
Grazie.
Grazie.
\(A^tGA=G\) è un sistema di [un numero finito di] equazioni quadratiche negli ingressi di \(A\); ognuna di queste equazioni descrive un chiuso come insieme delle sue soluzioni; l'intersezione di tutti questi chiusi è un chiuso.
Perfetto è tutto molto chiaro. L'ultima questione per chiudere definitivamente l'esercizio sta nel dimostrare l'implicazione da destra verso sinistra del punto $1)$, ovvero:
$A^(T)GA=G => AinO(p,q)$
Grazie mille.
$A^(T)GA=G => AinO(p,q)$
Grazie mille.
Beh, se \(A^tGA=G\) allora\[(Ax,Ay)_G = x^tA^tGAy = x^tGy = (x,y)_G\]
Si questa in effetti potevo risparmiarvela 
Grazie mille, siete sempre utilissimi
Grazie mille, siete sempre utilissimi
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