G-fibrato principale associato a un fibrato
Salve, non riesco a capire una cosa riguardo il fibrato principale associato a un fibrato. Inizio con un po' di definizioni per essere più chiaro e poi spiego il problema.
In quanto segue, suppongo che $G$ sia un gruppo topologico che agisce in maniera continua su uno spazio topologico $F$ e che questa azione sia fedele. In questo modo c'è un'iniezione canonica $G \to S(F)$ dove $S(F)$ è il gruppo degli omeomorfismi di $F$. Perciò, identificherò $G$ con un sottogruppo di $S(F)$.
F-struttura
Sia $F$ un $G$-spazio e sia $X$ uno spazio topologico. Una $F$-struttura su $X$ è una famiglia $D(F,X)$ di omeomorfismi da $F$ in $X$ tali che:
- $\sigma_1^{-1} \circ \sigma_2 \in G \quad\forall \sigma_1, \sigma_2 \in D(F,X)$
- $\sigma \circ g \in D(F,X) \quad \forall \sigma \in D(F,X), \quad g \in G$
F-fibrato
Un fibrato topologico $\xi = (\pi: E \to B)$ è un $F$-fibrato, se è assegnata una famiglia $D_{F}(\xi)$ di funzioni continue da $F$ in $E$ tali che:
- $\pi(\sigma(v_1))=\pi(\sigma(v_2)) \quad \forall \sigma \in D_{F}(\xi), \quad v_1,v_2 \in F$
- $D(F,E_b(\xi)):= \{ \sigma \in D_F(\xi): \sigma \text{ è un omeomorfismo in } E_b(\xi)\}$ è una $F$-struttura su $E_b(\xi)$ (dove $E_b(\xi)$ è la fibra $\pi^{-1}(b)$) per ogni $b \in B$.
$G$-fibrato principale
Nella precedente definizione, se $F = G$ e $G$ agisce su sé tramite traslazione: $(g,h) \in G \times G \mapsto gh \in G$, si ha un $G$-fibrato principale.
$G$-fibrato principale associato a un $F$-fibrato
E' il seguente: $$P(\xi) = (\pi': D_F(\xi) \to B)$$
dove si pone $\pi'(\sigma) = \pi(\sigma(v_0))$, con $v_0$ punto qualunque di $F$.
(La definizione ha senso essendo $\pi: E \to B$ un $F$-fibrato. Infatti in questo caso $\pi(\sigma(v_0))$ non dipende dalla scelta di $v_0$)
Secondo la precedente definizione, le fibre di $P(\xi)$ sono $D(F,E_b(\xi))$.
Inoltre $G$ agisce sulle fibre tramite la seguente:
$$(\sigma, g) \in D_F(\xi) \times G \mapsto \sigma \circ g \in D_F(\xi)$$
Quello che non riesco a capire è come faccia ad essere un $G$-fibrato principale secondo la definizione data. Forse mi sta sfuggendo qualcosa di ovvio, ma le fibre dovrebbero essere omeomorfe a $G$ e dovrei avere una famiglia di omeomorfismi $D(G,D(F,E_b(\xi))$ che definisce la $G$-struttura.
Mi rendo conto che essenzialmente la cosa ha senso perché $G$ agisce sulle fibre del fibrato $P(\xi)$, però non riesco a formalizzare questi dettagli. Qualcuno sa come aiutarmi?
In quanto segue, suppongo che $G$ sia un gruppo topologico che agisce in maniera continua su uno spazio topologico $F$ e che questa azione sia fedele. In questo modo c'è un'iniezione canonica $G \to S(F)$ dove $S(F)$ è il gruppo degli omeomorfismi di $F$. Perciò, identificherò $G$ con un sottogruppo di $S(F)$.
F-struttura
Sia $F$ un $G$-spazio e sia $X$ uno spazio topologico. Una $F$-struttura su $X$ è una famiglia $D(F,X)$ di omeomorfismi da $F$ in $X$ tali che:
- $\sigma_1^{-1} \circ \sigma_2 \in G \quad\forall \sigma_1, \sigma_2 \in D(F,X)$
- $\sigma \circ g \in D(F,X) \quad \forall \sigma \in D(F,X), \quad g \in G$
F-fibrato
Un fibrato topologico $\xi = (\pi: E \to B)$ è un $F$-fibrato, se è assegnata una famiglia $D_{F}(\xi)$ di funzioni continue da $F$ in $E$ tali che:
- $\pi(\sigma(v_1))=\pi(\sigma(v_2)) \quad \forall \sigma \in D_{F}(\xi), \quad v_1,v_2 \in F$
- $D(F,E_b(\xi)):= \{ \sigma \in D_F(\xi): \sigma \text{ è un omeomorfismo in } E_b(\xi)\}$ è una $F$-struttura su $E_b(\xi)$ (dove $E_b(\xi)$ è la fibra $\pi^{-1}(b)$) per ogni $b \in B$.
$G$-fibrato principale
Nella precedente definizione, se $F = G$ e $G$ agisce su sé tramite traslazione: $(g,h) \in G \times G \mapsto gh \in G$, si ha un $G$-fibrato principale.
$G$-fibrato principale associato a un $F$-fibrato
E' il seguente: $$P(\xi) = (\pi': D_F(\xi) \to B)$$
dove si pone $\pi'(\sigma) = \pi(\sigma(v_0))$, con $v_0$ punto qualunque di $F$.
(La definizione ha senso essendo $\pi: E \to B$ un $F$-fibrato. Infatti in questo caso $\pi(\sigma(v_0))$ non dipende dalla scelta di $v_0$)
Secondo la precedente definizione, le fibre di $P(\xi)$ sono $D(F,E_b(\xi))$.
Inoltre $G$ agisce sulle fibre tramite la seguente:
$$(\sigma, g) \in D_F(\xi) \times G \mapsto \sigma \circ g \in D_F(\xi)$$
Quello che non riesco a capire è come faccia ad essere un $G$-fibrato principale secondo la definizione data. Forse mi sta sfuggendo qualcosa di ovvio, ma le fibre dovrebbero essere omeomorfe a $G$ e dovrei avere una famiglia di omeomorfismi $D(G,D(F,E_b(\xi))$ che definisce la $G$-struttura.
Mi rendo conto che essenzialmente la cosa ha senso perché $G$ agisce sulle fibre del fibrato $P(\xi)$, però non riesco a formalizzare questi dettagli. Qualcuno sa come aiutarmi?
Risposte
Non e' molto chiaro dove entri in gioco $G$ nella definizione di $F$-fibrato. Probabilmente la risposta e' "tautologica" nel senso che $F$ ha un'azione fedele di $S(F)$, ed e' quello il $G$ che devi considerare?
Sì, $G$ entra in gioco semplicemente nel fatto che agisce su $F$ fedelmente. Quindi in un $G$-fibrato, $G$ è sia (omeomorfo a) la fibra che il gruppo strutturale.
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