$f:X-Y$ continua, $X$ connesso $=>$ il grafico è conn
Sappiamo che se $f:X ->Y$ è una funzione continua fra spazi topologici, con $X$ connesso per archi, allora il grafico $G={ (x,f(x) } \subset X x Y$ è connesso per archi.
Mi chiedevo se è vero invece che
$f:X->Y$ funzione continua fra spazi topologici, con $X$ connesso $=>$ il grafico $G={(x,f(x)} \subset X x Y$ è connesso.
In un primo tentativo di dimostrazione dovrei usare che la proiezione sul secondo fattore è chiusa, il che è in genere falso. Qualcuno se se questo fatto è vero, oppure conosce un controesempio?
Mi chiedevo se è vero invece che
$f:X->Y$ funzione continua fra spazi topologici, con $X$ connesso $=>$ il grafico $G={(x,f(x)} \subset X x Y$ è connesso.
In un primo tentativo di dimostrazione dovrei usare che la proiezione sul secondo fattore è chiusa, il che è in genere falso. Qualcuno se se questo fatto è vero, oppure conosce un controesempio?
Risposte
tieni presente:
se $X$ è connesso, $f(X)\sub Y$ è connesso...
quindi l'insieme $f(X)={y\in Y|y=f(x),x\in X}$ è connesso...
Infine $X x f(X)$ è connesso essendo prodotto di spazi connessi...
se $X$ è connesso, $f(X)\sub Y$ è connesso...
quindi l'insieme $f(X)={y\in Y|y=f(x),x\in X}$ è connesso...
Infine $X x f(X)$ è connesso essendo prodotto di spazi connessi...
"fu^2":Sì, ma il grafico della $f$ non è il prodotto cartesiano $X xx f(X)$.
$X x f(X)$ è connesso essendo prodotto di spazi connessi...
Per mostrare che se X è connesso il grafico è connesso basta considerare la funzione continua da $X$ a $X xx Y$ che manda $x$ in $(x,f(x))$.
"fu^2":
tieni presente:
se $X$ è connesso, $f(X)\sub Y$ è connesso...
quindi l'insieme $f(X)={y\in Y|y=f(x),x\in X}$ è connesso...
Infine $X x f(X)$ è connesso essendo prodotto di spazi connessi...
Beh, ma il grafico non è mica uguale al prodotto cartesiano $X x f(X)$!
eheh effettivamente ho detto che il grafico è un ""quadratone"" che di solito è falsino 
... mi scuso per lo scivolone... , vedi la risposta di Martino che indica la strada giusta...
della mia prendi le prime due righe e non la terza... mi scuso del falso aiuto
... mi scuso per lo scivolone... , vedi la risposta di Martino che indica la strada giusta...della mia prendi le prime due righe e non la terza... mi scuso del falso aiuto
@ martino
Non ti avevo visto, abbiamo postato insieme la stessa cosa
Non ti avevo visto, abbiamo postato insieme la stessa cosa
"Martino":grazie, è vero. Fra l'altro poi basta dire che il grafico è omeomorfo allo spazio di partenza, se f è continua.
Per mostrare che se X è connesso il grafico è connesso basta considerare la funzione continua da $X$ a $X xx Y$ che manda $x$ in $(x,f(x))$.
Un'altra cosa: Per dimostrare che il grafico è omeomorfo a $X$, basta prendere la funzione di proiezione (con $G$ denoto il grafico) $\pi :G->X $ $(x,f(x)) -> x$, essa è continua e bigettiva, e l'inversa è la funzione $(Id,f)$, continua perchè le componenti lo sono.
Adesso però uno potrebbe essere tentato di dimostrare la cosa così: prendo come sopra la proiezione, è continua e bigettiva, inoltre è aperta poichè le proiezioni sui fattori sono aperte se metto la topologia prodotto sullo spazio $XxY$ $=>$ è omemomorfismo. In particolare l'inversa è continua, e quindi devono esserlo le sue componenti $Id$ e $f$. In particolare se ne deduce che ogni funzione è continua.
Dov'è l'errore? (inutile dire che quel qualcuno tentato di dimostrare la cosa così è stato il sottoscritto, fino a che questa bella conclusione non l'ha fatto rinsavire
)
Adesso però uno potrebbe essere tentato di dimostrare la cosa così: prendo come sopra la proiezione, è continua e bigettiva, inoltre è aperta poichè le proiezioni sui fattori sono aperte se metto la topologia prodotto sullo spazio $XxY$ $=>$ è omemomorfismo. In particolare l'inversa è continua, e quindi devono esserlo le sue componenti $Id$ e $f$. In particolare se ne deduce che ogni funzione è continua.
Dov'è l'errore? (inutile dire che quel qualcuno tentato di dimostrare la cosa così è stato il sottoscritto, fino a che questa bella conclusione non l'ha fatto rinsavire
)
questa volta la risposta è più riflettuta, quindi meno probabilmente è una cavolata
tu per dire che $pi$, la proiezione sulla prima coordinata, è aperta penso sei partito da questo teorema: se $X_1,X_2$ sono spazio topologici, allora $\pi_i:X_1 x X_2\to X_i$ è aperta.
Però tu non parti da uno spazio topologico prodotto, ma da un suo sottospazio...
magari è una cavolata però...
tu per dire che $pi$, la proiezione sulla prima coordinata, è aperta penso sei partito da questo teorema: se $X_1,X_2$ sono spazio topologici, allora $\pi_i:X_1 x X_2\to X_i$ è aperta.
Però tu non parti da uno spazio topologico prodotto, ma da un suo sottospazio...
magari è una cavolata però...
ç fu^2
Esatto, l'errore sta proprio li. Questo ci dice che una funzione è continua se e solo se la restrizione al suo grafico della proiezione sul primo fattore è aperta.
Esatto, l'errore sta proprio li. Questo ci dice che una funzione è continua se e solo se la restrizione al suo grafico della proiezione sul primo fattore è aperta.
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