Fuochi ellisse rototraslata

[influenzaobd]

Ciao a tutti, ho incontrato un problema durante la risoluzione del seguente esercizio:
Data la conica:

$ 5x^2 + 6xy + 5y^2 - 4x + 4y - 12 = 0 $

Bisogna riconoscerla e trovare centro, assi, vertici, forma canonica e fuochi.

La conica è un'ellisse, ho ricavato tutto, compresa la forma canonica, utilizzando gli autovalori della matrice interna come coefficenti. Non ho quindi utilizzato la rototraslazione. Non riesco a trovare i fuochi e la direttrice, qualcuno sa suggerirmi un metodo per trovarli, senza utilizzare il metodo della rototraslazione?

Grazie mille a tutti

[influenzaobd]

Proprio nessuna sa aiutarci?? Sappiamo che "il fuoco è il punto proprio e reale tale che le rette per tangenti alla conica siano le rette isotrope..", ma non riusciamo ad applicare questo concetto. Grazie.

[byob12]

"influenzaobd":Non riesco a trovare i fuochi e la direttrice

la direttrice dell'ellisse?

"influenzaobd":ho ricavato tutto utilizzando gli autovalori della matrice interna come coefficenti. Non ho quindi utilizzato la rototraslazione

usare gli autovalori significa fare una rotazione.



la forma canonica dell'ellisse sara del tipo: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$
in questa forma canonica i 2 fuochi hanno coordinate:

$F_1(-c,0)$
$F_2(c,0)$[/list:u:1vh8503e]
con $c=sqrt(a^2-b^2)$ , nel caso $a>b$

quindi detto $C(x_c,y_c)$ il centro dell'ellisse e detta $M$ la matrice ortonormale che ricavi dagli autovettori, i fuochi saranno:
$[[X_(F1)],[Y_(F1)]]=M^(-1)[[-c],[0]]+[[x_c],[y_c]]=M'[[-c],[0]]+[[x_c],[y_c]]$
$[[X_(F2)],[Y_(F2)]]=M^(-1)[[c],[0]]+[[x_c],[y_c]]=M'[[c],[0]]+[[x_c],[y_c]]$
ricorda che $M$ è ortonormale e quindi $M^(-1)-=M'$

nel tuo caso ricavi:

$F_1=(1-sqrt(3),sqrt(3)-1)$
$F_2=(sqrt(3)+1,-1-sqrt(3))$[/list:u:1vh8503e]

[influenzaobd]

Grazie lo stesso, ma è passato ormai un anno e non ricordo più il problema così bene..speravo in una risposta più rapida sinceramente