Funzioni meromorfe su superfici di Riemann
Salve, avrei un dubbio relativo alla definizione delle funzioni meromorfe su una superficie di Riemann.
Nei corsi di geometria complessa mi sono state date due definizioni che vi propongo:
(1) Sia $X$ superficie di Riemann e $ EsubX $ un insieme discreto. Una funzione $f$ sulla superficie di Riemann $X$ si dice meromorfa se $ f:X\\E->CC $ è olomorfa e $ AA p inE $ $f$ ha un polo.
(2) Una funzione $f$ sulla superficie di Riemann $X$ si dice meromorfa se $ AA x inX $ $ EEV $ intorno aperto connesso di $x$ nel quale $ f=g/h $ (nei punti in cui $ h(x)!= 0 $ ) con $h$ e $g$ olomorfe.
A meno di singolarità eliminabili queste sono equivalenti, il problema sorge quando devo dimostrare l'esistenza di una biezione tra $ M(X):= {$ funzioni meromorfe su $X}$ e $ Hol(X,P_CC^1)\\{f=infty} $ . In questo caso quale bisogna prendere in considerazione? Sul libro che seguo l'argomento non è trattato in maniera approfondita ma si basa interamente sulla seconda definizione (l'unica che riporta), ma a me pare che bisognerebbe dare la prima.
Infatti se una funzione come $ f(z)=z/z $ fosse in $ M(CC) $ , questa corrisponderebbe alla funzione $ F(z)=(z:z) $ che non è definita in $ z=0 $ .
Qualcuno può aiutarmi a capire?
Nei corsi di geometria complessa mi sono state date due definizioni che vi propongo:
(1) Sia $X$ superficie di Riemann e $ EsubX $ un insieme discreto. Una funzione $f$ sulla superficie di Riemann $X$ si dice meromorfa se $ f:X\\E->CC $ è olomorfa e $ AA p inE $ $f$ ha un polo.
(2) Una funzione $f$ sulla superficie di Riemann $X$ si dice meromorfa se $ AA x inX $ $ EEV $ intorno aperto connesso di $x$ nel quale $ f=g/h $ (nei punti in cui $ h(x)!= 0 $ ) con $h$ e $g$ olomorfe.
A meno di singolarità eliminabili queste sono equivalenti, il problema sorge quando devo dimostrare l'esistenza di una biezione tra $ M(X):= {$ funzioni meromorfe su $X}$ e $ Hol(X,P_CC^1)\\{f=infty} $ . In questo caso quale bisogna prendere in considerazione? Sul libro che seguo l'argomento non è trattato in maniera approfondita ma si basa interamente sulla seconda definizione (l'unica che riporta), ma a me pare che bisognerebbe dare la prima.
Infatti se una funzione come $ f(z)=z/z $ fosse in $ M(CC) $ , questa corrisponderebbe alla funzione $ F(z)=(z:z) $ che non è definita in $ z=0 $ .
Qualcuno può aiutarmi a capire?
Risposte
Io sono abituato a ragionare con la seconda definizione di funzione meromorfa (non solo su superfici di Riemann);
e la funzione costante a \(\displaystyle 1\) su \(\displaystyle\mathbb{C}\setminus\{0\}\), ovvero \(\displaystyle f(z)=\frac{z}{z}\) [strike]non è meromorfa[/strike] su \(\displaystyle\mathbb{C}\) secondo la seconda definizione, quella che io reputo corretta!
Se ci fai caso: è facile definire la funzione \(\displaystyle\varphi:M(X)\to Hol(X,\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})\setminus\{f=\infty\}\).
EDIT: Aaargh!
e la funzione costante a \(\displaystyle 1\) su \(\displaystyle\mathbb{C}\setminus\{0\}\), ovvero \(\displaystyle f(z)=\frac{z}{z}\) [strike]non è meromorfa[/strike] su \(\displaystyle\mathbb{C}\) secondo la seconda definizione, quella che io reputo corretta!
Se ci fai caso: è facile definire la funzione \(\displaystyle\varphi:M(X)\to Hol(X,\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})\setminus\{f=\infty\}\).
EDIT: Aaargh!
Per come è posta la seconda definizione $ f(z)=z/z $ è meromorfa perchè $ z $ è una funzione olomorfa ovviamente e questa NON è uguale a $ f(z)=1 $ che è definita su $ CC $ e non su $ CC^** $ .
Ma, secondo la biezione, entrambe dovrebbero corrispondere a $ F(z)=(1:1) $ perdendo l'iniettività.
Ma, secondo la biezione, entrambe dovrebbero corrispondere a $ F(z)=(1:1) $ perdendo l'iniettività.
Ho specificato la superficie di Riemann a cui mi riferivo...
Dicendo "non è meromorfa su $CC$" ho dedotto che la superficie fosse $CC$... comunque io intendo $X=CC$.
Trovata la soluzione!
Come geometra algebrico, definisco le funzioni meromorfe su una superficie di Riemann \(\displaystyle X\) punto per punto (ovvero la seconda definizione), così da poter parlare delle funzioni meromorfe sugli aperti di \(\displaystyle X\) e dei germi delle funzioni meromorfe; in particolare, posso considerare il fascio delle funzioni meromorfe su \(\displaystyle X\), i divisori di Cartier ed enunziare il teorema di Riemann-Roch senza troppi problemi!
In particolare, esiste una iniezione di \(\displaystyle M(X)\) (l'anello delle funzioni meromorfe su \(\displaystyle X\)) in \(\displaystyle Hol(X,\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})\setminus\{f=\infty\}\) (l'anello delle funzioni olomorfe da \(\displaystyle X\) alla sfera di Riemann, non costanti a \(\displaystyle\infty\)).
Per vedere questa iniezione, si dev'essere un po' più precisi nella definizione[nota]Quanto segue è ciò che intendevi nella seconda definizione?[/nota]: \(\displaystyle f:X\to\mathbb{C}\) è meromorfa in un punto \(\displaystyle x\) se esiste un intorno aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle x\) biolomorfo a \(\displaystyle \mathbb{C}\) tale che \(\displaystyle f_{|U}\) sia una funzione meromorfa!, ovvero \(\displaystyle f_{|U}\) è il rapporto di funzioni olomorfe \(\displaystyle g,h:U\to\mathbb{C}\) ed \(\displaystyle f_{|U}\) abbia finiti poli!
Detto \(\displaystyle\mathscr{U}=\{U_i\}_{i\in I}\) un ricoprimento aperto di \(\displaystyle X\) tale che \(\displaystyle\forall i\in I,\,f_{|U_i}=f_i\) è meromorfa, si ha banalmente che:
\[
\forall i\neq j\in I,\,U_{ij}=U_i\cap U_j\neq\emptyset\Rightarrow f_{ij}=f_{ji};
\]
quindi la definizione è ben posta!, per di più, il dato delle funzioni meromorfe \(\displaystyle f_i\) compatibili come descritto, determinano un'unica funzione meromorfa su \(\displaystyle X\).
Considerata la funzione:
\[
\varphi:f\in M(X)\to\left(P\in X\to\begin{cases}
[1:f(P)]\iff P\,\text{non è un polo per}\,f\\
[0:1]\iff P\,\text{è un polo per}\,f
\end{cases}\in\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\right)\in Hol(X,\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})\setminus\{f=\infty\}
\]
si dimostra facilmente che è iniettiva; la suriettività la si dimostra ricordandoti che \(\displaystyle\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\) è la sfera di Riemann.
Tutto chiaro?
Come geometra algebrico, definisco le funzioni meromorfe su una superficie di Riemann \(\displaystyle X\) punto per punto (ovvero la seconda definizione), così da poter parlare delle funzioni meromorfe sugli aperti di \(\displaystyle X\) e dei germi delle funzioni meromorfe; in particolare, posso considerare il fascio delle funzioni meromorfe su \(\displaystyle X\), i divisori di Cartier ed enunziare il teorema di Riemann-Roch senza troppi problemi!
In particolare, esiste una iniezione di \(\displaystyle M(X)\) (l'anello delle funzioni meromorfe su \(\displaystyle X\)) in \(\displaystyle Hol(X,\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})\setminus\{f=\infty\}\) (l'anello delle funzioni olomorfe da \(\displaystyle X\) alla sfera di Riemann, non costanti a \(\displaystyle\infty\)).
Per vedere questa iniezione, si dev'essere un po' più precisi nella definizione[nota]Quanto segue è ciò che intendevi nella seconda definizione?[/nota]: \(\displaystyle f:X\to\mathbb{C}\) è meromorfa in un punto \(\displaystyle x\) se esiste un intorno aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle x\) biolomorfo a \(\displaystyle \mathbb{C}\) tale che \(\displaystyle f_{|U}\) sia una funzione meromorfa!, ovvero \(\displaystyle f_{|U}\) è il rapporto di funzioni olomorfe \(\displaystyle g,h:U\to\mathbb{C}\) ed \(\displaystyle f_{|U}\) abbia finiti poli!
Detto \(\displaystyle\mathscr{U}=\{U_i\}_{i\in I}\) un ricoprimento aperto di \(\displaystyle X\) tale che \(\displaystyle\forall i\in I,\,f_{|U_i}=f_i\) è meromorfa, si ha banalmente che:
\[
\forall i\neq j\in I,\,U_{ij}=U_i\cap U_j\neq\emptyset\Rightarrow f_{ij}=f_{ji};
\]
quindi la definizione è ben posta!, per di più, il dato delle funzioni meromorfe \(\displaystyle f_i\) compatibili come descritto, determinano un'unica funzione meromorfa su \(\displaystyle X\).
Considerata la funzione:
\[
\varphi:f\in M(X)\to\left(P\in X\to\begin{cases}
[1:f(P)]\iff P\,\text{non è un polo per}\,f\\
[0:1]\iff P\,\text{è un polo per}\,f
\end{cases}\in\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\right)\in Hol(X,\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}})\setminus\{f=\infty\}
\]
si dimostra facilmente che è iniettiva; la suriettività la si dimostra ricordandoti che \(\displaystyle\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}\) è la sfera di Riemann.
Tutto chiaro?
Mi sembra sia tutto chiaro ma in questo modo, in $ M(CC) $ continuano ad esserci sia $ f(z)=1 $ sia $ g(z)=z/z $ che, già sull'intera superficie, sono scritte come rapporto di funzioni olomorfe su $CC$. Nel modo in cui ora hai definito la biezione, non è ben definita $ varphi (g) $ che in $ z=0 $ non ha un polo, ma ha comunque una singolarità.
Io avevo di risolvere il problema definendo la biezione su $ (M(X))/tilde $ in modo da unificare in una classe di equivalenza $ [F] $ tutte quelle funzioni che presentano alcune singolarità eliminabili e possono essere estese in maniera naturale a una funzione meromorfa $ F $ (che presenta solo poli).
In questa maniera $ [f]=[g] $ e l'immagine tramite $ varphi $ è ben fedinita ed è $ varphi(f) $ .
Così facendo però si ottiene, a meno di isomorfismo, l'insieme delle funzioni meromorfe date dalla prima definizione...
Io avevo di risolvere il problema definendo la biezione su $ (M(X))/tilde $ in modo da unificare in una classe di equivalenza $ [F] $ tutte quelle funzioni che presentano alcune singolarità eliminabili e possono essere estese in maniera naturale a una funzione meromorfa $ F $ (che presenta solo poli).
In questa maniera $ [f]=[g] $ e l'immagine tramite $ varphi $ è ben fedinita ed è $ varphi(f) $ .
Così facendo però si ottiene, a meno di isomorfismo, l'insieme delle funzioni meromorfe date dalla prima definizione...
Scusami, ma c'ho pensato in palestra: la funzione su \(\displaystyle\mathbb{C}\) definita come \(\displaystyle\frac{z}{z}\) non è meromorfa!, il suo sviluppo di Laurent intorno allo \(\displaystyle0\) (e non solo) non è altri che \(\displaystyle1\); al più quella cosa è la funzione costante a \(\displaystyle1\) su \(\displaystyle\mathbb{C}\setminus\{0\}\), ivi banalmente olomorfa!
Ma tutte le funzioni meromorfe fuori dai poli sono olomorfe... $ f(z)=z/z $ soddisfa in tutto la seconda definizione quindi non può non essere meromorfa in $CC$ (e naturalmente olomorfa al di fuori della singolarità, cioè in $CC^**$)...
Ma ti è chiara la definizione di polo di una funzione a valori complessi? \(\displaystyle0\) non è un polo per la funzione \(\displaystyle\frac{z}{z}\) a.k.a. funzione costante a \(\displaystyle1\) su \(\displaystyle\mathbb{C}^{\times}\)!, è un punto di discontinuità eliminabile...
Non ho detto che è un polo ma dalla definizione data non si deve necessariamente avere un polo per essere esprimibile come rapporto di funzioni olomorfe senza essere olomorfa sulla superfici (come appunto $f(z)=z/z$)...
Perfetto! Allora ritorno al primo post... questa definizione che hai trovato è esattamente la PRIMA che avevo detto fosse l'unica con la quale la biezione funzionava...
...io, infatti, ho specificato quanto segue:
Se ci fai caso, questa definizione è equivalente alla prima che hai dato...
"j18eos":in quanto avevo supposto che tu avessi riportato male la seconda definizione.
... [sia \(\displaystyle X\) una superficie di Riemann, NdR.] \(\displaystyle f:X\to\mathbb{C}\) è meromorfa in un punto \(\displaystyle x\) se esiste un intorno aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle x\) biolomorfo a \(\displaystyle\mathbb{C}\) tale che \(\displaystyle f_{|U}\) sia una funzione meromorfa!, ovvero \(\displaystyle f_{|U}\) è il rapporto di funzioni olomorfe \(\displaystyle g,h:U\to\mathbb{C}\) ed \(\displaystyle f_{|U}\) abbia finiti poli!...
Se ci fai caso, questa definizione è equivalente alla prima che hai dato...
In questa però il fatto di avere finiti poli non esclude il fatto di avere singolarità eliminabili (che per i rapporti di funzioni olomorfi sono ammissibili)... se però dici che intendevi dare una definizione equivalente alla prima il problema è risolto... bisogna usare per forza la prima per avere la biezione e non la seconda.
Ma se nella seconda non imponi alcuna ipotesi sui poli, non ottieni la definizione di funzione meromorfa!
...mi fermo qui, 'ché mi fa male la testa.
Nice night.
...mi fermo qui, 'ché mi fa male la testa.
Nice night.
Mi sa che stiamo dicendo la stessa cosa e cioè che nella seconda bisogna escludere le funzioni con singolarità eliminabili che, per come mi viene data, sono ammesse... e di conseguenze è la prima quella da usare!
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