Funzioni lineari in $M_(mn)$
Detto $M_(mn)$ lo spazio vettoriale delle matrici $m*n$ a coefficienti in R, sia A una matrice quadrata fissata di ordine n.
Si verifichi che la funzione lineare da $M_(mn)$ in se definita da $L(X)=XA$ è lineare.
Per quali A è iniettiva?E suriettiva?
SI calcoli la dim del nucleo e dell'imamgine di in funzione del rango di A.
Si verifichi che la funzione lineare da $M_(mn)$ in se definita da $L(X)=XA$ è lineare.
Per quali A è iniettiva?E suriettiva?
SI calcoli la dim del nucleo e dell'imamgine di in funzione del rango di A.
Risposte
Di per sè, stando alla definizione, è iniettiva se il rango per colonne di $M_(mn)$ è uguale a $n$... in modo cioè che il nucleo sia zero... (qualcuno mi corregga se ricordo male)...
Mah, intanto $M_(mn)$ è lo spazio in cui ci si muove,ed ha ovviamemente dimensione(sempre) m*n.X non è un vettore(come mi sembra che tu lo stia pensando dalla tua risposta) bensi una matrice.La difficoltà in cui non riesco è principalmente l'ultimo punto.QUalcuno sa dare una mano?
Hai mai sentito nominare il software Maple? A questo indirizzo
http://www.dm.uniba.it/~lotta/lab_2_2008.mws
trovi una esercitazione (molto bella) che ti porta a risolvere proprio il tuo esercizio aiutandoti con questo programma. Richiede solo le minime basi del software (è la 2a lezione di un corso di laboratorio matematico informatico).
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Quello che devi fare è pensare al sistema lineare associato alla applicazione in questione. Indichiamo con $X=[x_{ij}],\ A=[a_{jk}]$ le matrici in questione. Allora per determinare il nucleo dell'applicazione devi considerare il sistema associato
$XA=0_{mn}\quad\Rightarrow\quad x_{ij}a_{jk}=0,\qquad \forall i=1,\ldots,m,\ k=1,\ldots,n$
e cioè un sistema di $mn$ equazioni in $mn$ incognite. I coefficienti di questo sistema sono quelli della matrice $A$: la matrice dei coefficienti è la matrice quadrata di ordine $mn$ a blocchi dove i blocchi diagonali (cioè quelli che appaiono lungo la diagonale principale) sono $m$ copie della matrice $A^T$ mentre gli altri blocchi sono le matrici quadrate nulle $0_n$ (di ordine $n$). (Prova a farlo nel caso $m=3, n=2$ e vedrai che è così!)
A questo punto puoi usare la regola di Cramer: il nucleo è nullo se e solo se la soluzione del sistema è unica e coincide con il vettore nullo (tutte le $x_{ij}=0$). Ma questo accade se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero: tale determinante è uguale a
$(\det(A^T))^n=(\det A)^n\ne 0\quad \Rightarrow \det A\ne 0$
e quindi il nucleo è nullo (l'applicazione è iniettiva) se e solo se $A\in GL(n,\mathbb{R})$ (il gruppo generale lineare.
Per quanto riguarda la suriettività, puoi usare il risultato per cui se $F:V\rightarrow W$ è lineare, allora $\dim V=\dim\ker(F)+\dim Im(F)$. Ora la tua applicazione è suriettiva se e solo se $\dim Im(L)=mn=\dim M_{mn}$, ma allora se e solo se $\dim\ker(L)=0$ e quindi se e solo se la funzione è iniettiva. Quindi ancora per tutte le matrici $A\inGL(n,\mathbb{R})$ (osserva che quindi tale applicazione è biettiva, una volta determinata la sua suriettività.)
Per l'ultimo punto, ti dò un suggerimento: considera che quando $A$ è nel gruppo generale lineare il suo rango è $n$. E ciò che scopri è che
$\dim\ker(L)=0=mn-mn\qquad \dim Im(L)=nm$.
Cosa puoi concludere allora (e perché) se il rango di $A$ è $r$?
$XA=0_{mn}\quad\Rightarrow\quad x_{ij}a_{jk}=0,\qquad \forall i=1,\ldots,m,\ k=1,\ldots,n$
e cioè un sistema di $mn$ equazioni in $mn$ incognite. I coefficienti di questo sistema sono quelli della matrice $A$: la matrice dei coefficienti è la matrice quadrata di ordine $mn$ a blocchi dove i blocchi diagonali (cioè quelli che appaiono lungo la diagonale principale) sono $m$ copie della matrice $A^T$ mentre gli altri blocchi sono le matrici quadrate nulle $0_n$ (di ordine $n$). (Prova a farlo nel caso $m=3, n=2$ e vedrai che è così!)
A questo punto puoi usare la regola di Cramer: il nucleo è nullo se e solo se la soluzione del sistema è unica e coincide con il vettore nullo (tutte le $x_{ij}=0$). Ma questo accade se e solo se il determinante della matrice dei coefficienti è diverso da zero: tale determinante è uguale a
$(\det(A^T))^n=(\det A)^n\ne 0\quad \Rightarrow \det A\ne 0$
e quindi il nucleo è nullo (l'applicazione è iniettiva) se e solo se $A\in GL(n,\mathbb{R})$ (il gruppo generale lineare.
Per quanto riguarda la suriettività, puoi usare il risultato per cui se $F:V\rightarrow W$ è lineare, allora $\dim V=\dim\ker(F)+\dim Im(F)$. Ora la tua applicazione è suriettiva se e solo se $\dim Im(L)=mn=\dim M_{mn}$, ma allora se e solo se $\dim\ker(L)=0$ e quindi se e solo se la funzione è iniettiva. Quindi ancora per tutte le matrici $A\inGL(n,\mathbb{R})$ (osserva che quindi tale applicazione è biettiva, una volta determinata la sua suriettività.)
Per l'ultimo punto, ti dò un suggerimento: considera che quando $A$ è nel gruppo generale lineare il suo rango è $n$. E ciò che scopri è che
$\dim\ker(L)=0=mn-mn\qquad \dim Im(L)=nm$.
Cosa puoi concludere allora (e perché) se il rango di $A$ è $r$?
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