Funzioni lineari e sottospazi vettoriali
stavo facendo degli esercizi di algebra lineare ma poichè non ricordo benissimo alcune definizioni mi sono sorti dei dubbi allora vi scrivo gli esercizi:
1) quale tra le seguenti funzioni è lineare:
a) $f(t)=[log_e(15)]*t$
b) $f(x;y)=((x),(y))*((2),(1))$
c) $f(x;y)=(x+5*y;0)$
d) $f(x;y;z)=sqrt(x^2+y^2+z^2)$
e) Nessuna delle precedenti
2)quale dei seguenti insiemi è sottospazio vettoriale
a) ${(x;y) in RR^2 : sqrt(x^2)-y=0}$
b) ${(x;y) in RR^2 : |x-y|=0}$
c) ${A in M(2; RR ) : A=((alpha,1),(0,beta)); alpha ; beta in RR}$
d) ${\vec v in RR^3 : \vec v=lambda*\vec a+\mu*\vec b+\vec c; lambda;\mu in RR; \vec a;\vec b;\vec c!=\vec 0 fissati $in$ RR^3}$
e)Nessuna delle precedenti
Potreste aiutarmi dicendomi le motivazioni alle risposte?
ah le risposte giuste potrebbero essere anche più di una...
grazie in anticipo
1) quale tra le seguenti funzioni è lineare:
a) $f(t)=[log_e(15)]*t$
b) $f(x;y)=((x),(y))*((2),(1))$
c) $f(x;y)=(x+5*y;0)$
d) $f(x;y;z)=sqrt(x^2+y^2+z^2)$
e) Nessuna delle precedenti
2)quale dei seguenti insiemi è sottospazio vettoriale
a) ${(x;y) in RR^2 : sqrt(x^2)-y=0}$
b) ${(x;y) in RR^2 : |x-y|=0}$
c) ${A in M(2; RR ) : A=((alpha,1),(0,beta)); alpha ; beta in RR}$
d) ${\vec v in RR^3 : \vec v=lambda*\vec a+\mu*\vec b+\vec c; lambda;\mu in RR; \vec a;\vec b;\vec c!=\vec 0 fissati $in$ RR^3}$
e)Nessuna delle precedenti
Potreste aiutarmi dicendomi le motivazioni alle risposte?
ah le risposte giuste potrebbero essere anche più di una...
grazie in anticipo
Risposte
Un'applicazione f da V in W (spazi vettoriali) si dice lineare se:
f(v+w)=f(v)+f(w)
f(av)=af(v) con v e w vettori del dominio e a scalare reale.
Si verifica che, se nel dominio e nel codominio sono fissate le basi canoniche, l'immagine attraverso l'applicazione di un qualunque vettore del dominio è un polinomio omogeneo di primo grado nelle coordinate dello spazio ambiente...
In un sottospazio vettoriale sono definite le operazioni di somma tra vettori e di moltiplicazione per uno scalare; inoltre, un sottospazio è "chiuso" rispetto a tali operazioni (il risultato è contenuto ancora nello spazio stesso) e contiene l'elemento neutro della somma (il vettore nullo).
Guardando il grafico di una equazione si può capire subito se è un sottospazio vettoriale.
Inoltre, esiste un isomorfismo tra lo spazio delle matrici quadrate ed R^n...
P.S. Quel prodotto tra vettori nel punto b del primo esercizio è scritto male: il primo vettore deve essere trasposto.
f(v+w)=f(v)+f(w)
f(av)=af(v) con v e w vettori del dominio e a scalare reale.
Si verifica che, se nel dominio e nel codominio sono fissate le basi canoniche, l'immagine attraverso l'applicazione di un qualunque vettore del dominio è un polinomio omogeneo di primo grado nelle coordinate dello spazio ambiente...
In un sottospazio vettoriale sono definite le operazioni di somma tra vettori e di moltiplicazione per uno scalare; inoltre, un sottospazio è "chiuso" rispetto a tali operazioni (il risultato è contenuto ancora nello spazio stesso) e contiene l'elemento neutro della somma (il vettore nullo).
Guardando il grafico di una equazione si può capire subito se è un sottospazio vettoriale.
Inoltre, esiste un isomorfismo tra lo spazio delle matrici quadrate ed R^n...
P.S. Quel prodotto tra vettori nel punto b del primo esercizio è scritto male: il primo vettore deve essere trasposto.
grazie della risposta ma a me servirebbe giustificare perchè negli esercizi che ho riportato le risposte siano giuste oppure no 
salve a tutti ho bisogno del vostro aiuto devo fare tra pochissimo l'esame di algebra e geometria 
e vorrei sapere due cose:
1- se mi trovo in S3 come calcolo l'area del triangolo?
2-sapete dove posso trovare degli esercizi svolti su sottospazi e applicazioni lineari?
Grazie per l'attenzione!!!!!!
e vorrei sapere due cose:1- se mi trovo in S3 come calcolo l'area del triangolo?
2-sapete dove posso trovare degli esercizi svolti su sottospazi e applicazioni lineari?
Grazie per l'attenzione!!!!!!
"Chiary89":
1- se mi trovo in S3 come calcolo l'area del triangolo?
Per calcolare l'area di un triangolo nello
spazio è possibile seguire questa strada:
ti calcoli i due vettori
$v_1 = ((x_B-x_A),(y_B-y_A),(z_B-z_A))$
$v_2 = ((x_C-x_A),(y_C-y_A),(z_C-z_A))$
a questo punto fai il prodotto vettoriale $v_1 \wedge v_2$ ,
poi calcoli il modulo del vettore ottenuto ,
infine dividi per 2, ottenendo così l'area del triangolo.
Non so se mi sono spiegato.
"Chiary89":
2-sapete dove posso trovare degli esercizi svolti su sottospazi e applicazioni lineari?
Puoi provare sul mio sito personale:
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... neare.html
uhm...io per calcolare l'area del triangolo inS3 mi calcolo la distanza tra due punti che identifica la base e poi vorrei calcolare la perpendicolare alla base che passa per il terzo vertice...... 
non so se questo ragionamento è corretto!
non so se questo ragionamento è corretto!
"Chiary89":
uhm...io per calcolare l'area del triangolo inS3 mi calcolo la distanza tra due punti che identifica la base e poi vorrei calcolare la perpendicolare alla base che passa per il terzo vertice......
Devi prendere il piano passante per il terzo vertice e perpendicolare al segmento avente
per estremi i due punti scelti e calcolare l'intersezione con il segmento.
e come faccio a calcolare il piano perpendicolare al segmento??
considero un piano perpendicolare ad una retta????
considero un piano perpendicolare ad una retta????
Per l'area del triangolo nello spazio a tre dimensioni forse può servire questo (il link è al mio intervento ma ci sono anche interventi di altri):
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#280894
P.S.: Ma non si stava parlando di applicazioni lineari?
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#280894
P.S.: Ma non si stava parlando di applicazioni lineari?
"dissonance":
Per l'area del triangolo nello spazio a tre dimensioni forse può servire questo (il link è al mio intervento ma ci sono anche interventi di altri):
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#280894
In pratica lì c'è il mio metodo..
grazie grazie grazie 
approfitto ancora del vostro aiuto per un altro dubbio:
se ho l'equazioni di tre piani e mi si chiede di determinare la retta in comune ne devo fare l'intersezione?????
approfitto ancora del vostro aiuto per un altro dubbio:
se ho l'equazioni di tre piani e mi si chiede di determinare la retta in comune ne devo fare l'intersezione?????
"Chiary89":
grazie grazie grazie
Prego!
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