Funzioni continue (topologia)
Salve volevo avere qualche suggerimento per una dimostrazione :
Dovrei dimostrare che date due funzioni continue f,g : T--->R (T è uno spazio topologico e R è l'insieme dei reali)
la funzione f*g : T----> R f*g(x) = f(x)*g(x) è continua.
Non so bene come impostare il problema , per il caso c*f con c costante vedevo quella funzione come una composizione ed era semplice ma qui ho qualche problemA... bisognerebbe dimostrare che la funzione R*R---->R che a (x,y) associa x*y è continua e considerando gli elementi della coppia funzioni continue si risolve il problema credo ... ma non riesco nella prima parte..
Grazie in anticipo
Dovrei dimostrare che date due funzioni continue f,g : T--->R (T è uno spazio topologico e R è l'insieme dei reali)
la funzione f*g : T----> R f*g(x) = f(x)*g(x) è continua.
Non so bene come impostare il problema , per il caso c*f con c costante vedevo quella funzione come una composizione ed era semplice ma qui ho qualche problemA... bisognerebbe dimostrare che la funzione R*R---->R che a (x,y) associa x*y è continua e considerando gli elementi della coppia funzioni continue si risolve il problema credo ... ma non riesco nella prima parte..
Grazie in anticipo
Risposte
Non capisco: è un prodotto o una composizione?
E' un prodotto.
La chiave e' dimostrare che la moltiplicazione $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e' continua. Per farlo, comincia con l'osservare che e' continua in $(0,0)$, e poi gioca sul fatto che le traslazioni in $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ sono continue.
La chiave e' dimostrare che la moltiplicazione $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e' continua. Per farlo, comincia con l'osservare che e' continua in $(0,0)$, e poi gioca sul fatto che le traslazioni in $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ sono continue.
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