Funzioni continue sulla sfera e fibre

[fractalius]

Propongo il seguente esercizio, di cui ho idea degli strumenti utilizzabili ma che non riesco a focalizzare, pur essendo probabilmente molto semplice. Siano $n \geq 2$ e $f: S^n \rightarrow \mathbb{R}$ un'applicazione continua. Denotiamo con $A$ l'insieme dei punti $t \in f(S^n)$ tali che la fibra $f^{-1}(t)$ ha cardinalità finita. Dimostrare che $A$ contiene al più due punti.
Di sicuro, essendo $S^n$ un connesso, la sua immagine $f(S^n)$ è un connesso in $\mathbb{R}$, cioè un intervallo, ed essendo $S^n$ un chiuso e limitato, $f$ ammette massimo e minimo, cioè l'intervallo $f(S^n)$ è chiuso: sia esso ad esempio $[a, b]$. Inoltre, sappiamo che esisterà $x \in S^n$ tale che $f(x) = f(-x)$, cioè in particolare $f$ non può essere iniettiva. La richiesta della tesi, cioè il fatto che l'insieme $A$ ammette al più due punti, mi fa in qualche modo pensare che essi possano effettivamente essere $a$ e $b$, e che supposta l'esistenza di un terzo punto $c$ tale che $f^{-1}(c)$ abbia cardinalità finita, il fatto che $a

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Risposte

Shocker1

2 nov 2018, 14:25

Se $#A > 2$ prendi un sottoinsieme $B \subset A$ di $3$ punti, cosa succede a $f(S^n) - B$? E cosa a $S^n - f^{-1}(B)$?

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fractalius

2 nov 2018, 15:25

"Shocker":Se $#A > 2$ prendi un sottoinsieme $B \subset A$ di $3$ punti, cosa succede a $f(S^n) - B$? E cosa a $S^n - f^{-1}(B)$?

Posto come prima $f(S^n) = [a, b]$, se $a, b \in B$ allora detto $c$ l'unico elemento di $B - {a,b}$ otterrei che $f(S^n)- B = (a,c) \cup (c,d)$, ossia uno spazio sconnesso, mentre $S^n - f^{-1}(B)$ è il complementare di un insieme finito di punti, cioè un aperto connesso per archi e quindi connesso, ma essendo $f(S^n - f^{-1}(B)) = f(S^n) - B$ e $f$ continua, $f(S^n) - B$ dovrebbe essere connesso, e quindi otteniamo una contraddizione. Il caso in cui $a \notin B$ o $b \notin B$ è praticamente analogo, perché $f(S^n) - B$ si spezza in 3 o 4 intervalli, quindi otteniamo sempre uno spazio sconnesso: questo mi porta a dire che effettivamente gli unici due eventuali punti di $A$ devono effettivamente essere il massimo e il minimo dell'intervallo. E' corretto? Se sì, era facile come sospettavo, probabilmente ci ho riflettuto meno del dovuto.

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Shocker1

2 nov 2018, 15:32

Sì anche se non è necessario usare massimo e minimo di una funzione: se $B$ ha almeno $3$ punti sconnetti l'immagine ma non il dominio. Se poi $\exists c \in (a, b)$ tale che $f^-1(c)$ ha cardinalità finita ottieni subito l'assurdo: $S^n - f^-1(c)$ è connesso ma $[a, b] - {c}$ no.

Ciao

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fractalius

2 nov 2018, 15:41

Grazie!

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[Shocker1]

Se $#A > 2$ prendi un sottoinsieme $B \subset A$ di $3$ punti, cosa succede a $f(S^n) - B$? E cosa a $S^n - f^{-1}(B)$?

[fractalius]

"Shocker":Se $#A > 2$ prendi un sottoinsieme $B \subset A$ di $3$ punti, cosa succede a $f(S^n) - B$? E cosa a $S^n - f^{-1}(B)$?

Posto come prima $f(S^n) = [a, b]$, se $a, b \in B$ allora detto $c$ l'unico elemento di $B - {a,b}$ otterrei che $f(S^n)- B = (a,c) \cup (c,d)$, ossia uno spazio sconnesso, mentre $S^n - f^{-1}(B)$ è il complementare di un insieme finito di punti, cioè un aperto connesso per archi e quindi connesso, ma essendo $f(S^n - f^{-1}(B)) = f(S^n) - B$ e $f$ continua, $f(S^n) - B$ dovrebbe essere connesso, e quindi otteniamo una contraddizione. Il caso in cui $a \notin B$ o $b \notin B$ è praticamente analogo, perché $f(S^n) - B$ si spezza in 3 o 4 intervalli, quindi otteniamo sempre uno spazio sconnesso: questo mi porta a dire che effettivamente gli unici due eventuali punti di $A$ devono effettivamente essere il massimo e il minimo dell'intervallo. E' corretto? Se sì, era facile come sospettavo, probabilmente ci ho riflettuto meno del dovuto.

[Shocker1]

Sì anche se non è necessario usare massimo e minimo di una funzione: se $B$ ha almeno $3$ punti sconnetti l'immagine ma non il dominio. Se poi $\exists c \in (a, b)$ tale che $f^-1(c)$ ha cardinalità finita ottieni subito l'assurdo: $S^n - f^-1(c)$ è connesso ma $[a, b] - {c}$ no.

Ciao

[fractalius]

Grazie!