Funzioni chiuse

[streghettaalice]

Sia $F:]0,+infty [ to RR, x to f(x)= min (1, 1/x)$
devo dimostrare che non è chiusa la funzione.. Quale chiuso posso utilizzare in modo che la sua immagine NON sia un chiuso?

[dissonance]

Disegnati il grafico, è facile. Poi prendi dei chiusi (intervalli chiusi vanno bene) e vedi come si trasformano. Suggerimento: non ti limitare a intervalli chiusi e limitati!

[streghettaalice]

il chiuso deve essere della topologia indotta sul sottoinsieme $]0 , + infty [ $ giusto?

[dissonance]

Si certo. Niente di troppo strano però.

[streghettaalice]

allora posso prendere $ ]-infty,1]$ poichè il complementare è aperto. $F $($ ]-infty,1])=1$ che non è aperto di $RR$. va bene così?

[dissonance]

Ma no, dai. Che errori sono questi? $F$ è definita in $(0, infty)$. Devi prendere un chiuso contenuto in questo spazio.

[streghettaalice]

è vero mi sono accorta ora dell'errore grave! a questo punto ho difficoltà a trovare un chiuso..

[dissonance]

Ma su forza non ti puoi incartare così su un esercizio del genere. Il grafico lo hai disegnato? Facciamo così, te lo disegno io. Poi però ragiona su questo e trova un chiuso che non viene applicato in un chiuso.

[asvg]xmin=0; ymin=0; axes(); stroke="lightgray"; plot("1/x");line([0, 1], [6, 1]); stroke="black"; line([0, 1], [1, 1]); xmin=1;xmax=6; plot("1/x");[/asvg](quelle in grigio chiaro sono linee di costruzione, spero sia chiaro il significato del disegno). Beh adesso disegna l'immagine di vari chiusi e vedi che succede.

[streghettaalice]

ho trovato $ [1, + infty $[ . Il suo complementare è $]0,1$[ che non è un chiuso.. così è giusto?

[dissonance]

Ma è assolutamente incompleto. Che cosa hai dimostrato? Che $[1, infty)$ è chiuso (*). Benissimo. E poi? Che rilevanza ha questo con il nostro problema? Forza, impegnati un po' di più.

(*) Tra l'altro, rileggendo la tua risposta, vedo che non hai dimostrato neanche questo. Hai detto che il complementare di $[1, infty)$ non è chiuso, ma avresti dovuto dire che è aperto. Attenzione! Non è vero che un insieme o è aperto oppure è chiuso. Esistono insiemi né aperti né chiusi.