Funzioni armoniche e olomorfe
Ciao a tutti, sono alle prese con funzioni armoniche e olomorfe. Vi posto i miei due dubbi di cui uno spero di aver risolto correttamente.
1) data $F=p(z)+iq(z)$ funzione olomorfa allora essa è armonica.
Tenendo conto che z=u+iv, siccome è olomorfa allora soddisfa le condizioni di C-R sulle derivate parziali e quindi riderivando una condizione rispetto ad u ed una rispetto a v, e poi andando a sommarle otteniamo la condizione sul laplaciano nullo e quindi è effettivamente una funzione armonica.
2) data la parametrizzazione minima $(a(z)+ib(z),c(z))$ allora $\frac{\partial a}{\partial z}$ e $\frac{\partial b}{\partial z}$ solo olomorfe.
Come posso verificare questo?
1) data $F=p(z)+iq(z)$ funzione olomorfa allora essa è armonica.
Tenendo conto che z=u+iv, siccome è olomorfa allora soddisfa le condizioni di C-R sulle derivate parziali e quindi riderivando una condizione rispetto ad u ed una rispetto a v, e poi andando a sommarle otteniamo la condizione sul laplaciano nullo e quindi è effettivamente una funzione armonica.
2) data la parametrizzazione minima $(a(z)+ib(z),c(z))$ allora $\frac{\partial a}{\partial z}$ e $\frac{\partial b}{\partial z}$ solo olomorfe.
Come posso verificare questo?
Risposte
Per la prima va bene. Parte reale e parte immaginaria soddisfano separatamente l'equazione di Laplace.
Cos'è una "parametrizzazione minima"?
Cos'è una "parametrizzazione minima"?
So che una parametrizzazione minima ha le componenti armoniche o sbaglio?
Non ho mai sentito questo termine; per questo ti chiedevo una definizione.
Io so che: "Una superficie minima generalizzata in $\mathbb{R}^3$ è un’applicazione non costante $X: M→ \mathbb{R}^3$,dove ogni componente $X_i$ è armonica in M."
Ma comunque avresti qualche suggerimento, o comunque non so in base a ciò che intendi tu per parametrizzazione minima, come lo imposteresti per arrivare a vedere che è olomorfa?
Ma comunque avresti qualche suggerimento, o comunque non so in base a ciò che intendi tu per parametrizzazione minima, come lo imposteresti per arrivare a vedere che è olomorfa?
"Bluff":
2) data la parametrizzazione minima $(a(z)+ib(z),c(z))$ allora $\frac{\partial a}{\partial z}$ e $\frac{\partial b}{\partial z}$ solo olomorfe.
Come posso verificare questo?
Non so niente di queste cose. Però...
Se $a(z)+ib(z)$ è una funzione armonica, allora soddisfa l'equazione di Laplace:
\[\displaystyle 4 \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{\partial}{\partial z} ( a+ib ) = 0 \]
Ovvero
\[\displaystyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{\partial a }{\partial z}+ i \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{\partial b }{\partial z} = 0 \]
Cioè
\[\displaystyle \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{\partial a }{\partial z} = 0 \;\;\;\;\;\and\;\;\;\;\; \frac{\partial}{\partial \overline{z}} \frac{\partial b }{\partial z} = 0 \]
Che sono precisamente le equazioni di Cauchy-Riemann per $\frac{\partial a }{\partial z}$ e per $\frac{\partial b }{\partial z}$. Quindi $\frac{\partial a }{\partial z}$ e $\frac{\partial b }{\partial z}$ sono olomorfe.
grazie mille, non avevo pensato a questa via dimostrativa.
Se posso, ti chiedo anche un altro dubbio che mi è venuto leggendo una dimostrazione di un libro dove si ha che $Re\int_{z_0}^{z} 2\frac{\partial h(z)}{\partial z} dz=h(z)-h(z)$. Perchè il 2 sparisce?
Per il fatto che $\frac{\partial h(z)}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial h}{\partial u}-i\frac{\partial h}{\partial v})$?
Se posso, ti chiedo anche un altro dubbio che mi è venuto leggendo una dimostrazione di un libro dove si ha che $Re\int_{z_0}^{z} 2\frac{\partial h(z)}{\partial z} dz=h(z)-h(z)$. Perchè il 2 sparisce?
Per il fatto che $\frac{\partial h(z)}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial h}{\partial u}-i\frac{\partial h}{\partial v})$?
Non so... Che ipotesi hai su $h$?
Risolto. Non avevo considerato un passaggio precedente che serviva proprio a far scomparire quel 2 
. Grazie ugualmente Seneca.
. Grazie ugualmente Seneca.
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