Funzioni a più variabili (a valori vettoriali)
Ciao, avrei bisogno di fare chiarezza su un argomento che non riesco a formalizzare bene.
Sono alle prese con lo studio di analisi II e algebra lineare e ho un dubbio che vado a spiegarvi sperando in un aiuto e vi ringrazio giàin anticipo.
- Io so che le applicazioni lineari sono applicazioni che operano su n-uple e rispettano due fondamentali "regole", in una parola la condizione di linearità (con somma e prodotto per scalare)
- Altresì so che una funzione a valori vettoriali (o campo vettoriale) opera sempre sulle ennuple, ma in modo più generico non opera nel rispetto della "Linearità".
Ora veniamo al dubbio vero e prorpio: le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore), dimostrabile.
Ma anche por i campi vettoriali vale qualcosa del genere? Ovvero anche la funzione a più variabili a valori vettoriali manda in spazi di n-uple a basi mai maggiori di quelli di partenza?
Mi verrebbe da dire di sì, mi sono fatto vari esempi ma ogni volta se parto da una n-upla mettiamo di 2 componenti se vado in una da tre trovo sempre al massimo due vettori linearmente indipendenti (come massimo) non riesco a "generare" una terza componente partendo da due, con una fegola fissata che mi generi tre triple linearmente indipendenti.
Purtroppo a lezione non si è trattato di questa casistica e nutro una grande curiosità.
Grazie.
Sono alle prese con lo studio di analisi II e algebra lineare e ho un dubbio che vado a spiegarvi sperando in un aiuto e vi ringrazio giàin anticipo.
- Io so che le applicazioni lineari sono applicazioni che operano su n-uple e rispettano due fondamentali "regole", in una parola la condizione di linearità (con somma e prodotto per scalare)
- Altresì so che una funzione a valori vettoriali (o campo vettoriale) opera sempre sulle ennuple, ma in modo più generico non opera nel rispetto della "Linearità".
Ora veniamo al dubbio vero e prorpio: le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore), dimostrabile.
Ma anche por i campi vettoriali vale qualcosa del genere? Ovvero anche la funzione a più variabili a valori vettoriali manda in spazi di n-uple a basi mai maggiori di quelli di partenza?
Mi verrebbe da dire di sì, mi sono fatto vari esempi ma ogni volta se parto da una n-upla mettiamo di 2 componenti se vado in una da tre trovo sempre al massimo due vettori linearmente indipendenti (come massimo) non riesco a "generare" una terza componente partendo da due, con una fegola fissata che mi generi tre triple linearmente indipendenti.
Purtroppo a lezione non si è trattato di questa casistica e nutro una grande curiosità.
Grazie.
Risposte
"sgrisolo":
- Altresì so che una funzione a valori vettoriali (o campo vettoriale) opera sempre sulle ennuple, ma in modo più generico non opera nel rispetto della "Linearità".
Falso
Possono esserci trasformazioni non lineari e in quei casi ovviamente non puoi applicare niente dell'agebra lineare perchè quei campi appunto non soddisfano le condizioni per definirli spazi vettoriali (la linearità appunto, fra le altre cose).
Praticamente lavorerai sempre con trasformazioni lineari...a meno che nel tuo programma non sia così super-avanzato da studiare forme non lineari.
"sgrisolo":
Ora veniamo al dubbio vero e prorpio: le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore), dimostrabile.
Quando lavori con i campi saranno SEMPRE applicazioni lineari da $R^n$ in $R^n$.
Al massimo un'immagine avrà dimensione inferiore a n, ma sarà sempre un sottospazio di $R^n$
"sgrisolo":
Ma anche por i campi vettoriali vale qualcosa del genere? Ovvero anche la funzione a più variabili a valori vettoriali manda in spazi di n-uple a basi mai maggiori di quelli di partenza?
Puoi farlo ma che senso avrebbe?
Prendi un caso banale senza funzioni. Immagina di prendere tutti i vettori di $R^2$ e passarli in $R^3$
In pratica prendi un vettore (x,y) e lo trasformi in (x,y, a) dove a è una costante a piacere.
Ovvero lavoreresti su un piano di $R^3$. Perchè farlo quando otteresti i medesimi risultati che lavorando in $R^2$?
Grazie mille per la risposta.
Ho dato algebra lineare e sono novizio nello studio di analisi II, questo perché sono rimasto un po' indietro su analisi 1 che ho passato giusto questa settimana. Ad ogni modo, forse devo chiarire che il mio professore di analisi 2 prlava di campo vettoriale nel senso di funzione a valori vettoriali (insomma funzioni non per forza lineari), detto ciò per non creare confusione sulla terminologia torniamo al dubbio.
PER GLI OMOMORFISMI
Quel che ricordo da algebra lineare (data 6 mesi fa e purtroppo per ora non più usata) è che "le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore)"
Intendo dire che la base dello spazio in cui mando ogni vettore (x,y) ha dimensionalità 2 (due generatori linearmente indipendendti), come massimo, anche se passassi da una dupla ad una quadrupla.
PER LE FUNZIONI A VALORI VETTORIALI
Mi chiedevo se la stessa cosa succedesse anche per le funzioni (non lineari) a valori vettoriali. Insomma, da quanto ho capito nella tua risposta sarebbe inutile chiederselo. Questo perché non essendo applicazioni lineari è inutile parlare di basi. Giusto?
Correggimi, te ne prego, se ho detto stupidate
Grazie ancora e buon pomeriggio
Ho dato algebra lineare e sono novizio nello studio di analisi II, questo perché sono rimasto un po' indietro su analisi 1 che ho passato giusto questa settimana. Ad ogni modo, forse devo chiarire che il mio professore di analisi 2 prlava di campo vettoriale nel senso di funzione a valori vettoriali (insomma funzioni non per forza lineari), detto ciò per non creare confusione sulla terminologia torniamo al dubbio.
PER GLI OMOMORFISMI
Quel che ricordo da algebra lineare (data 6 mesi fa e purtroppo per ora non più usata) è che "le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore)"
Intendo dire che la base dello spazio in cui mando ogni vettore (x,y) ha dimensionalità 2 (due generatori linearmente indipendendti), come massimo, anche se passassi da una dupla ad una quadrupla.
PER LE FUNZIONI A VALORI VETTORIALI
Mi chiedevo se la stessa cosa succedesse anche per le funzioni (non lineari) a valori vettoriali. Insomma, da quanto ho capito nella tua risposta sarebbe inutile chiederselo. Questo perché non essendo applicazioni lineari è inutile parlare di basi. Giusto?
Correggimi, te ne prego, se ho detto stupidate
Grazie ancora e buon pomeriggio
"sgrisolo":
PER GLI OMOMORFISMI
Quel che ricordo da algebra lineare (data 6 mesi fa e purtroppo per ora non più usata) è che "le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore)"
Questa è una trasformazione da $R^2$ in $R^3$
$ ( ( 1 , -1 ),( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) *( ( x ),( y ) ) =( ( b_1 ),( b_2 ),( b_3 ) ) $
"sgrisolo":
PER LE FUNZIONI A VALORI VETTORIALI
Mi chiedevo se la stessa cosa succedesse anche per le funzioni (non lineari) a valori vettoriali. Insomma, da quanto ho capito nella tua risposta sarebbe inutile chiederselo. Questo perché non essendo applicazioni lineari è inutile parlare di basi. Giusto?
No
Per le trasformazioni lineari, in genere sono tutte matrici quadrate (applicazioni) da $R^n$ in $R^n$
Se la matrice di partenza è singolare allora è "come" passare da $R^m$ in $R^n$ con m
A) funzioni che puoi linearizzare con un cambio di variabili
b) funzioni non lineari che non puoi linearizzare e quindi non puoi usare l'algebra lineare...e ti attacchi al tram.
"Bokonon":
Per le trasformazioni lineari, in genere sono tutte matrici quadrate (applicazioni) da $R^n$ in $R^n$
Quindi questa non è lineare?
"Bokonon":
$R^2 -> R^3 $
$ ( ( 1 , -1 ),( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ( ( x ),( y ) ) =( ( x-y ),( x ),( y) ) $
"Magma":
Quindi questa non è lineare?
LOL
Il fatto che abbia portato io stesso l'esempio cosa ti suggerisce?
Stiamo parlando di altro....
le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore), dimostrabile.
Cosa volevi dire con questa cosa falsissima?!
"killing_buddha":
Cosa volevi dire con questa cosa falsissima?!
L'avrà capito oramai che esistono anche ad es. $ f(e^(-2t), e^(t))=(e^(-2t), e^(t),e^(-2t)+ e^(t)) $
Piuttosto, visto che sei qua...sei d'accordo con me che la stragrande parte delle applicazioni interessanti (parlando di campi vettoriali) sono da $R^n$ in $R^n$?
Non vorrei aver esagerato...
Ma in fisica ad esempio non riesco ad immaginare trasformazioni non quadrate che risolvano un particolare problema.
Tu che dici?
"Bokonon":
in fisica ad esempio non riesco ad immaginare trasformazioni non quadrate che risolvano un particolare problema.
Considera il moto di un punto nello spazio lungo una traiettoria: le sue coordinate $(x,y,z)$ saranno funzione del tempo $t$; ovvero la posizione è una funzione del tipo:
$r: [t_o,t_1]subeRR->RR^3$
$t->{ ( x=x(t)) ,( y=y(t) ),( z=z(t) ):}$
$t->{ ( x=x(t)) ,( y=y(t) ),( z=z(t) ):}$
Ha mai visto il meteo? Bene, le isobare sono linee di livello della funzione di due variabili[nota]La pressione atmosferica nel punto di coordinate $(x,y)$, al livello del mare.[/nota]:
$RR^2->RR$
$(x,y)|->f(x,y)=k$
$(x,y)|->f(x,y)=k$
I campi vettoriali sono mappe lisce $M \to TM$ che sono sezioni della proiezione canonica $TM\to M$, vanno da una varietà al suo fibrato co/tangente; se la dimensione di $M$ è $n$, la dimensione di $TM$ è $2n > n$.
"killing_buddha":
I campi vettoriali sono mappe lisce $M \to TM$ che sono sezioni della proiezione canonica $TM\to M$, vanno da una varietà al suo fibrato co/tangente; se la dimensione di $M$ è $n$, la dimensione di $TM$ è $2n > n$.
Usando il tuo esempio, La dimensione di M può essere quello che vuole <2n, anche n, ma è pur sempre un sottoinsieme di $R^(2n)$.
Quindi l'applicazione è sempre da $R^(2n)$ a $R^(2n)$
Vettori di 2n componenti trasformati in vettori di 2n componenti.
O forse intendi altro e non ci siamo capiti.
"Bokonon":
La dimensione di M può essere quello che vuole <2n, anche n, ma è pur sempre un sottoinsieme di $ R^(2n) $.
Quindi l'applicazione è sempre da $ R^(2n) $ a $ R^(2n) $
Ma che significa?
Sono contento che la discussione sia stata così commentata e abbia permesso ad altri di fare ulteriori digressioni. Sono felice della sua utilità.
Ti spiego cosa volevo dire, sperando tu o gli altri, abbiate voglia di correggermi perché ora so di sbagliare ma non so dove
.
Il mio ragionamento è stato: dato che per ogni applicazione lineare posso trovare la matrice associata nel seguente modo:
- ho una base B di tre vettori $RR^n$
- ho una base C per lo spazio vettoriale di arrivo $RR^m$
La matrice si crea, da quel che ricordo, dopo aver trovato i vettori immagine della base del dominio e scrivendo codesti vettori come combinazione lineare dei nuovi. Le coordinate di essi saranno le colonne della matrice associata all'applicazione lineare che va da $RR^n->RR^m$.
Passiamo ad un esempio: prendiamo ad esempio $RR^3$ per il dominio della mia applicazione, essa consta di triple del tipo $(a,b,c)$ mettiamo una base sia $(1,0,1)$,$(0,0,1)$,$(1,1,1)$ non riesco a immaginare altra combinazione linare per uno soazio $RR^4$ che non dia una matrice con 4 colonne ma solo tre righe.
E dato che il numero delle righe è al massimo 3 linearmente indipendenti, la base sarà di 3 e quindi la dimensione dello spazio generato dai "generatori immagini" sarà 3.
Non riesco a capire la falla nel ragionamento
"killing_buddha":le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore), dimostrabile.
Cosa volevi dire con questa cosa falsissima?!
Ti spiego cosa volevo dire, sperando tu o gli altri, abbiate voglia di correggermi perché ora so di sbagliare ma non so dove
.Il mio ragionamento è stato: dato che per ogni applicazione lineare posso trovare la matrice associata nel seguente modo:
- ho una base B di tre vettori $RR^n$
- ho una base C per lo spazio vettoriale di arrivo $RR^m$
La matrice si crea, da quel che ricordo, dopo aver trovato i vettori immagine della base del dominio e scrivendo codesti vettori come combinazione lineare dei nuovi. Le coordinate di essi saranno le colonne della matrice associata all'applicazione lineare che va da $RR^n->RR^m$.
Passiamo ad un esempio: prendiamo ad esempio $RR^3$ per il dominio della mia applicazione, essa consta di triple del tipo $(a,b,c)$ mettiamo una base sia $(1,0,1)$,$(0,0,1)$,$(1,1,1)$ non riesco a immaginare altra combinazione linare per uno soazio $RR^4$ che non dia una matrice con 4 colonne ma solo tre righe.
E dato che il numero delle righe è al massimo 3 linearmente indipendenti, la base sarà di 3 e quindi la dimensione dello spazio generato dai "generatori immagini" sarà 3.
Non riesco a capire la falla nel ragionamento
"killing_buddha":le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore), dimostrabile.
Cosa volevi dire con questa cosa falsissima?!
Probabilmente voleva dire che una applicazione lineare $L:V->W$ ha la proprietà tale per cui l’immagine sia generata dall’immagine di vettori della base di $V$ pertanto può avere dimensione minore di uguale a quella dello spazio di partenza.
Volevi dire questo? VERO?
"anto_zoolander":
Probabilmente voleva dire che una applicazione lineare $L:V->W$ ha la proprietà tale per cui l’immagine sia generata dall’immagine di vettori della base di $V$ pertanto può avere dimensione minore di uguale a quella dello spazio di partenza.
Volevi dire questo? VERO?
Credo che si siamo conflittati a pochi minuti di edit
Esatto (e al massimo uguale), ed è sbagliato?
No è corretto questo.
Puoi dimostrare tranquillamente che per ogni applicazione lineare $L inHom(V,W)$ fissata una base $B={v_1,...,v_n}$ di $V$ si avrà che $L(V)= << L(v_1),...,L(v_n)>>$
Puoi dimostrare tranquillamente che per ogni applicazione lineare $L inHom(V,W)$ fissata una base $B={v_1,...,v_n}$ di $V$ si avrà che $L(V)= << L(v_1),...,L(v_n)>>$
"sgrisolo":
[quote="killing_buddha"]le applicazioni lineari portano sempre da uno spazio in dimensione n ad uno spazio di dimensione n o minore (mai maggiore), dimostrabile.
Cosa volevi dire con questa cosa falsissima?!
Ti spiego cosa volevo dire, sperando tu o gli altri, abbiate voglia di correggermi perché ora so di sbagliare ma non so dove
.[/quote]Scherzavo, avevo capito cosa vuoi dire: che una funzione lineare $f : V\to W$ tra spazi vettoriali non può avere immagine di dimensione maggiore della dimensione del dominio; è la formula delle dimensioni.
Stai ripetendo un errore piuttosto comune nella matematica dei primi anni del '900, e cioè stai confondendo la nozione di immagine di un omomorfismo con la nozione di codominio di un omomorfismo. L'immagine del morfismo $RR\to RR^2$ che manda $1$ in $e_1 = (1,0)$ è un sottospazio di dimensione $1$. L'immagine del morfismo $RR \to RR^{6\cdot 10^{23}}$ che manda allo stesso modo $1$ in $e_1 = (1,0,...,0)$ è allo stesso modo $1$, ma i codomini sono diversi.
Il punto (quello che abbiamo capito con Noether, e in generale con gli algebristi della prima metà del 1900, e ciò che poi la teoria delle categorie ha reso evidente) è che codominio e immagine sono nozioni da tenere distinte.
@anto
Esatto, ricordavo infatti di averlo letto, ma ammetto che non saprei rifalrlo. In ogni caso, pensavo di essere impazzito
@killing
Hai ragione killing, perdonatemi, vanno tenuti ben distinti!
Ok capito che almeno questo tassello è corretto (fiù, mi avevi messo in crisi con la tua risposta di prima, ma almeno memore della paura non sbalgierò più) volevo passare al nocciolo della questione di apertura della discussione, che invero devo dire non mi è tuttora chiaro.
In pratica non capisco se una tale proprietà sia valida anche per funzioni a valori vettoriali, insomma io ho una funzione che lavora su ennuple e non comprendo se anche questa funzione (che intendo non lineare) ha la proprietà di generarmi un immagine di dimensionalità pari al dominio e mai maggiore.
"anto_zoolander":
Puoi dimostrare tranquillamente$
Esatto, ricordavo infatti di averlo letto, ma ammetto che non saprei rifalrlo. In ogni caso, pensavo di essere impazzito
@killing
Hai ragione killing, perdonatemi, vanno tenuti ben distinti!
Ok capito che almeno questo tassello è corretto (fiù, mi avevi messo in crisi con la tua risposta di prima
, ma almeno memore della paura non sbalgierò più) volevo passare al nocciolo della questione di apertura della discussione, che invero devo dire non mi è tuttora chiaro.In pratica non capisco se una tale proprietà sia valida anche per funzioni a valori vettoriali, insomma io ho una funzione che lavora su ennuple e non comprendo se anche questa funzione (che intendo non lineare) ha la proprietà di generarmi un immagine di dimensionalità pari al dominio e mai maggiore.
È abbastanza facile dimostrarlo, comincia prendendo un vettore in uno dei due e poi tutto verrà da se.
Comunque non è detto che in una funzione vettoriale l’immagine sia un sottospazio vettoriale.
Basta considerare $F:t in RR -> (t,t^2) inRR^2$
L’immagine è un sottoinsieme di vettori ma non un sottospazio.
In genere dato uno spazio euclideo $(A,V)$ una funzione vettoriale è una funzione $F:U->V$ dove $U$ è un sottoinsieme dello spazio euclideo, in poche parole in ogni punto è come se applicassi un vettore.
Penso che la cosa rimanga sensata per spazi normati, ma non saprei.
Comunque non è detto che in una funzione vettoriale l’immagine sia un sottospazio vettoriale.
Basta considerare $F:t in RR -> (t,t^2) inRR^2$
L’immagine è un sottoinsieme di vettori ma non un sottospazio.
In genere dato uno spazio euclideo $(A,V)$ una funzione vettoriale è una funzione $F:U->V$ dove $U$ è un sottoinsieme dello spazio euclideo, in poche parole in ogni punto è come se applicassi un vettore.
Penso che la cosa rimanga sensata per spazi normati, ma non saprei.
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