Funzione proiezione

[prapa1]

come faccio a far vedere che la funzione proiezione è una funzione lineare

considerata la funzione proiezione come

l: $R^n$$rarr$$R^m$ , l($x_i$) i che va da 1 ad n = ($x_i$) i che va da 1 ad m ????
mi aiutate??
mi fate vedere come devo applicare la def di linearità per dimostrare che è linere?'
GRAZIE

[Dorian1]

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ . Prendiamo una sua base, ${v_1,...,v_n}$. Consideriamo i sottospazi:

$U= W=$

cioè considero i due sottospazi generati rispettivamente dai primi $r$ vettori e dagli ultimi $n-r$ vettori della base scelta.
Siccome i due sottospazi sono in somma diretta (vuol dire che $U nn W = 0_V$ e $ =V$), ha senso definire la seguente applicazione.

$(pi^W)_U : V->V$ che al vettore $sum_(i=1)^nm_iv_i$ associa il vettore $sum_(i=1)^rm_iv_i$ detta proiezione su U con direzione W.

Si vuole mostrare che, $AAx,y in V$, $AA a,b in K$:

$(pi^W)_U(ax+by)=a(pi^W_)U(x) + b(pi^W)_U(y)$

innanzitutto $x$ e $y$ sono univocamente individuati da $n$ coefficienti (diciamoli $alpha_1,...,alpha_n$ per $x$ e $beta_1,...,beta_n$ per $y$), i quali sono le coordinate rispetto alla base scelta. In altri termini:

$x=sum_(i=1)^n alpha_iv_i$ , $y=sum_(i=j)^n beta_jv_j$

e quindi $ax +by=sum_(i=1)^n ab(alpha_i+beta_i)v_i$

giunti a questo punto, osserviamo che:

$(pi^W)_U(ax+by)=(pi^W)_U(sum_(i=1)^n ab(alpha_i+beta_i)v_i)=sum_(i=1)^r ab(alpha_i+beta_i)v_i=asum_(i=1)^r alpha_iv_i+bsum_(j=1)^r beta_iv_i=a(pi^W)_U(x) + b(pi^W)_U(y)$