Funzione omogenea e omeomorfismo (conferma soluzione)
Ciao ragazzi, c'è qualcuno di buona volontà che può confermarmi se la mia soluzione è giusta? L'esercizio è il seguente:
Sia [tex]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/tex] una funzione omogenea di grado [tex]2[/tex]*, di classe [tex]C^2[/tex] con matrice Hessiana in [tex]0[/tex] non degenere. Provare che [tex]x\mapsto\nabla f(x)[/tex] è un omeomorfismo.
La continuità di [tex]\nabla f[/tex] è ovvia (le componenti sono continue).
Essendo [tex]f[/tex] omogenea di grado [tex]2[/tex], si ha che [tex]\nabla f[/tex] è omogenea di grado [tex]1[/tex]. In particolare, [tex]\nabla f(0)=0[/tex].
Dall'ipotesi sulla matrice Hessiana, segue che [tex]\nabla f[/tex] è localmente in [tex]0[/tex] un omeomorfismo.
Esistono [tex]\delta,\varepsilon>0[/tex] tali che [tex](\nabla f)_{\big|B_\delta}:B_\delta\to\nabla f(B_\delta)[/tex] è omeomorfismo e [tex]B_\varepsilon\subset\nabla f(B_\delta)[/tex]. **
Provo che [tex]\nabla f[/tex] è surgettiva: se [tex]y\neq 0[/tex] (il caso [tex]y=0[/tex] è ovvio) scelto [tex]x\in B_\delta[/tex] tale che [tex]\nabla f(x)=\frac{\varepsilon}{2\|y\|}y[/tex], si ha che [tex]\nabla f(\frac{2\|y\|}{\varepsilon}x)=y[/tex] (dall'omogeneità di grado 1 di [tex]\nabla f[/tex]).
L'ingettività si fa con un discorso analogo: attraverso l'omogeneità si va su [tex]B_\delta[/tex] e poi si torna indietro.
Per quanto riguarda la continuità dell'inversa, si prova abbastanza agevolmente che è anch'essa omogenea di grado [tex]1[/tex] e si sfrutta la continuità dell'inversa di [tex](\nabla f)_{\big|B_\delta}:B_\delta\to\nabla f(B_\delta)[/tex].
E' giusta la mia dimostrazione (o meglio la mia idea, ho tralasciato qualche dettaglio tecnico, se qualcuno ne ha bisogno potrei essere più preciso)? A me sembra di sì, ma ho l'impressione che si possa dimostrare la tesi in modo molto più immediato. Che ne dite?
Grazie a chi avrà la pazienza di leggere il mio post.
* Significa che per ogni [tex]x\in\mathbb{R}^n[/tex] e ogni [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex], si ha che [tex]f(\lambda x)=\lambda^2f(x)[/tex]
** [tex]B_\delta[/tex] e [tex]B_\varepsilon[/tex] sono le sfere di centro [tex]0[/tex] e raggio risp [tex]\delta[/tex] e [tex]\varepsilon[/tex].
Sia [tex]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/tex] una funzione omogenea di grado [tex]2[/tex]*, di classe [tex]C^2[/tex] con matrice Hessiana in [tex]0[/tex] non degenere. Provare che [tex]x\mapsto\nabla f(x)[/tex] è un omeomorfismo.
La continuità di [tex]\nabla f[/tex] è ovvia (le componenti sono continue).
Essendo [tex]f[/tex] omogenea di grado [tex]2[/tex], si ha che [tex]\nabla f[/tex] è omogenea di grado [tex]1[/tex]. In particolare, [tex]\nabla f(0)=0[/tex].
Dall'ipotesi sulla matrice Hessiana, segue che [tex]\nabla f[/tex] è localmente in [tex]0[/tex] un omeomorfismo.
Esistono [tex]\delta,\varepsilon>0[/tex] tali che [tex](\nabla f)_{\big|B_\delta}:B_\delta\to\nabla f(B_\delta)[/tex] è omeomorfismo e [tex]B_\varepsilon\subset\nabla f(B_\delta)[/tex]. **
Provo che [tex]\nabla f[/tex] è surgettiva: se [tex]y\neq 0[/tex] (il caso [tex]y=0[/tex] è ovvio) scelto [tex]x\in B_\delta[/tex] tale che [tex]\nabla f(x)=\frac{\varepsilon}{2\|y\|}y[/tex], si ha che [tex]\nabla f(\frac{2\|y\|}{\varepsilon}x)=y[/tex] (dall'omogeneità di grado 1 di [tex]\nabla f[/tex]).
L'ingettività si fa con un discorso analogo: attraverso l'omogeneità si va su [tex]B_\delta[/tex] e poi si torna indietro.
Per quanto riguarda la continuità dell'inversa, si prova abbastanza agevolmente che è anch'essa omogenea di grado [tex]1[/tex] e si sfrutta la continuità dell'inversa di [tex](\nabla f)_{\big|B_\delta}:B_\delta\to\nabla f(B_\delta)[/tex].
E' giusta la mia dimostrazione (o meglio la mia idea, ho tralasciato qualche dettaglio tecnico, se qualcuno ne ha bisogno potrei essere più preciso)? A me sembra di sì, ma ho l'impressione che si possa dimostrare la tesi in modo molto più immediato. Che ne dite?
Grazie a chi avrà la pazienza di leggere il mio post.
* Significa che per ogni [tex]x\in\mathbb{R}^n[/tex] e ogni [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex], si ha che [tex]f(\lambda x)=\lambda^2f(x)[/tex]
** [tex]B_\delta[/tex] e [tex]B_\varepsilon[/tex] sono le sfere di centro [tex]0[/tex] e raggio risp [tex]\delta[/tex] e [tex]\varepsilon[/tex].
Risposte
si a primo sguardo mi pare corretto.
A me non verrebbe in mente altro su due piedi, in quanto l'essiana così fatta ti dà semplicemente l'invertibilità locale. Quindi smanettare con gli intorni mi semra un passaggio quasi obbligato...
Una domanda: se avessi scelto una funzione con tutte le stesse ipotesi, ma di grado d'omogeneità $h$, il teorema sarebbe ancora valido?
A me non verrebbe in mente altro su due piedi, in quanto l'essiana così fatta ti dà semplicemente l'invertibilità locale. Quindi smanettare con gli intorni mi semra un passaggio quasi obbligato...
Una domanda: se avessi scelto una funzione con tutte le stesse ipotesi, ma di grado d'omogeneità $h$, il teorema sarebbe ancora valido?
Innanzitutto grazie per la risposta. Ci ho pensato ancora un po', ma una dimostrazione alternativa a questa proprio non mi viene.
La prima cosa che mi viene in mente, senza pensarci molto, è che il teorema continua a valere per [tex]h\ge2[/tex]. Credo che giocando per bene con l'omogeneità di grado [tex]h-1[/tex] del gradiente, dovrebbe valere più o meno la stessa dimostrazione. Sinceramente non ho provato materialmente a farlo, però credo che dovrebbe andar bene.
Per [tex]h=1[/tex], si parla di funzioni lineari [tex]\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/tex] e il risultato non si può applicare, perchè la matrice Hessiana di una funzione lineare è sempre degenere.
Poi c'è da considerare il caso [tex]h[/tex] reale, ma si può parlare di funzione omogenea di grado [tex]\alpha>0[/tex]? A prima vista pare che la cosa non funzioni per [tex]\alpha<2[/tex], ma a questo proposito dovrei pensarci un po'.
"fu^2":
Una domanda: se avessi scelto una funzione con tutte le stesse ipotesi, ma di grado d'omogeneità $h$, il teorema sarebbe ancora valido?
La prima cosa che mi viene in mente, senza pensarci molto, è che il teorema continua a valere per [tex]h\ge2[/tex]. Credo che giocando per bene con l'omogeneità di grado [tex]h-1[/tex] del gradiente, dovrebbe valere più o meno la stessa dimostrazione. Sinceramente non ho provato materialmente a farlo, però credo che dovrebbe andar bene.
Per [tex]h=1[/tex], si parla di funzioni lineari [tex]\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/tex] e il risultato non si può applicare, perchè la matrice Hessiana di una funzione lineare è sempre degenere.
Poi c'è da considerare il caso [tex]h[/tex] reale, ma si può parlare di funzione omogenea di grado [tex]\alpha>0[/tex]? A prima vista pare che la cosa non funzioni per [tex]\alpha<2[/tex], ma a questo proposito dovrei pensarci un po'.
una funzione omogenea di grado [tex]\alpha[/tex] reale è per esempio [tex]F(x,y)=)(xy)^{\alpha}[/tex] maybe... 
quindi ha senso parlarne... se il grado è minore uguale a uno quantomeno in zero si creano problemi. tra [tex]1<\alpha<2[/tex] devo pensarci... non mi è immediato vedere se è vero o no il teorema...
l'unica questione che può causare qualche perplessità nella generalizzazione è la continuità dell'inversa... (anche per il caso di omogeneità intera)
quindi ha senso parlarne... se il grado è minore uguale a uno quantomeno in zero si creano problemi. tra [tex]1<\alpha<2[/tex] devo pensarci... non mi è immediato vedere se è vero o no il teorema...l'unica questione che può causare qualche perplessità nella generalizzazione è la continuità dell'inversa... (anche per il caso di omogeneità intera)
Eh, già. Sono stato affrettato come al solito. Anche per $h=3$ le cose non vanno lisce per l'inversa. Devo lavorare per sistemare i dettagli, se il risultato continua a valere, cosa di cui non sono più tanto convinto.
Quindi il problema resta aperto.
Grazie.
Quindi il problema resta aperto.
Grazie.
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