Funzione inversa esercizio
Ragazzi non riesco a risolvere il secondo punto di questo esercizio.. potete darmi una mano ?
Esercizio
Siano dati i vettori $v1 = (1, −1, 2), v2 = (−1, 2, 0), v3 = (0, 1, 1)$
e sia $f : R^3 → R^3$
l’applicazione lineare il cui nucleo `e generato da v1 e tale che $f(v2) = 2v2 e f(v3) = v3.$
(a) Utilizzando la formula di cambiamento di basi, si scriva la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
Semplice.
(b) Si dica se esiste una funzione lineare $g : R^3 → R^3$
tale che la funzione composta g ◦ f sia invertibile
Qua non so neanche come partire
Esercizio
Siano dati i vettori $v1 = (1, −1, 2), v2 = (−1, 2, 0), v3 = (0, 1, 1)$
e sia $f : R^3 → R^3$
l’applicazione lineare il cui nucleo `e generato da v1 e tale che $f(v2) = 2v2 e f(v3) = v3.$
(a) Utilizzando la formula di cambiamento di basi, si scriva la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
Semplice.
(b) Si dica se esiste una funzione lineare $g : R^3 → R^3$
tale che la funzione composta g ◦ f sia invertibile
Qua non so neanche come partire
Risposte
considera che $B={v_1,v_2,v_3}$ è una base di $RR^3$ pertanto la matrice associata sarà $M_f=[(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]$
Dire se esiste una applicazione $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf:RR^3->RR^3$ sia invertibile significa dire che esista una matrice $3times3$ per cui $A*M_f$ sia una matrice invertibile.
ma significa che $0ne|A*M_f|=|A|*|M_f|=|A|*0=0$ cioè una contraddizione.
per la prima cosa potresti dire?
Dire se esiste una applicazione $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf:RR^3->RR^3$ sia invertibile significa dire che esista una matrice $3times3$ per cui $A*M_f$ sia una matrice invertibile.
ma significa che $0ne|A*M_f|=|A|*|M_f|=|A|*0=0$ cioè una contraddizione.
per la prima cosa potresti dire?
"anto_zoolander":
considera che $B={v_1,v_2,v_3}$ è una base di $RR^3$ pertanto la matrice associata sarà $M_f=[(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)]$
Dire se esiste una applicazione $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf:RR^3->RR^3$ sia invertibile significa dire che esista una matrice $3times3$ per cui $A*M_f$ sia una matrice invertibile.
ma significa che $0ne|A*M_f|=|A|*|M_f|=|A|*0=0$ cioè una contraddizione.
per la prima cosa potresti dire?
Ma la matrice associata, non dovrebbe contenere un 2 nella seconda colonna?
In quanto v2 = 2v2
Non capisco poi perchè moltiplicare A per Mf equivale a moltiplicare A per 0
Potresti formattare i testi matematici in LaTeX?
Ho sbagliato, è come dici tu per la matrice ma non cambia il risultato.
Comporre due applicazioni lineari significa moltiplicare le loro matrici, no?
Supponiamo per assurdo che esista una applicazione $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile.
Si avrà che $(gcircf)(X)=g(f(X))=g(M_f*X)=(M_g*M_f)X$
Cosa puoi dire se $(gcircf)$ è invertibile? Dove troviamo la contraddizione?
Ho sbagliato, è come dici tu per la matrice ma non cambia il risultato.
Comporre due applicazioni lineari significa moltiplicare le loro matrici, no?
Supponiamo per assurdo che esista una applicazione $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile.
Si avrà che $(gcircf)(X)=g(f(X))=g(M_f*X)=(M_g*M_f)X$
Cosa puoi dire se $(gcircf)$ è invertibile? Dove troviamo la contraddizione?
"anto_zoolander":
Potresti formattare i testi matematici in LaTeX?
Ho sbagliato, è come dici tu per la matrice ma non cambia il risultato.
Comporre due applicazioni lineari significa moltiplicare le loro matrici, no?
Supponiamo per assurdo che esista una applicazione $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile.
Si avrà che $(gcircf)(X)=g(f(X))=g(M_f*X)=(M_g*M_f)X$
Cosa puoi dire se $(gcircf)$ è invertibile? Dove troviamo la contraddizione?
Non ho ancora ben capito.. potresti essere più esplicito?
Va buò, andiamoci diversamente.
abbiamo $f:RR^3->RR^3$ di cui conosciamo le immagini dei vettori,
ovvero
sappiamo, dalla teoria, che fissando come base di $RR^3$ sia per il dominio che per il codominio $B={v_1,v_2,v_3}$ si ottiene che l'immagine sarà generata dall'immagine dei vettori della base, ovvero
sempre dalla teoria sappiamo che, per la relazione dimensionale deve essere
ovvero avremo il nucleo sarà generato dal solo vettore $v_1$ in quanto appartiene al nucleo, è linearmente indipendente(ogni sistema formato da un solo vettore non nullo è linearmente indipendente) e poichè per la relazione dimensionale il nucleo deve avere in ogni base un solo vettore, avremo che
Dopo aver trovato queste informazioni, andiamo prima al secondo punto.
L'idea è che vogliamo verificare che non esiste alcun endomorfismo $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ risulti invertibile.
Possiamo vederlo da due punti di vista diversi: uno puramente basato su quanto studiato delle applicazioni lineari e uno che si basa solo sulle caratteristiche 'funzionali' di $f$ e $g$.
Per cominciare, con il primo punto, ci serve un importante teorema sugli omomorfismi di spazi vettoriali.
Ora possiamo portare avanti la dimostrazione.
Vogliamo pertanto dimostrare che non esista alcun endomorfismo $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile.
supponiamo per assurdo che tale endomorfismo esista, ovvero supponiamo che esista $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile. Poichè $gcircf$ è invertibile allora è iniettivo e quindi deve essere $Ker(gcircf)ne{0}$ ma $(gcircf)(v_1)=g(f(v_1))=g(0)=0 => v_1 inKer(gcircf)$
Questa è una contraddizione poichè si ottiene $v_1 inKer(gcircf)={0}$ senza che $v_1=0$
Pertanto tale endomorfismo non può esistere, perchè se esistesse, il nucleo non potrebbe essere banale e quindi non potrebbe essere iniettiva, né tantomeno invertibile!
Il secondo modo è più legato soltanto ad aspetti funzionali e usa la seguente proposizione:
la dimostrazione di questo fatto è semplice.
sia $gcircf:A->C$ la composizione iniettiva
se $gcircf$ è iniettiva allora $forallx,y inA, f(x)=f(y) => g(f(x))=g(f(y)) => x=y$
dove usiamo essenzialmente che $f(x)=f(y) => g(f(x))=g(f(y))$ poichè $g$ è una funzione ed elementi uguali hanno immagini uguali. Poi il fatto che $g(f(x))=g(f(y))=>x=y$ per ipotesi di iniettività.
Questo come lo usiamo nel nostro esercizio? In questo modo
se esistesse $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile significherebbe che $gcircf$ dovrebbe essere iniettiva allora per la proposizione precedente $f$ dovrebbe essere iniettiva, ma abbiamo visto che $f$ non è iniettiva, quindi otteniamo ancora la stessa contraddizione
Questo è del tutto analogo al ragionamento con le matrici, solo che devono esserti chiare alcune cose.
Ho cercato di spiegartelo nel miglior modo in cui io potessi farlo.
abbiamo $f:RR^3->RR^3$ di cui conosciamo le immagini dei vettori,
$v_1=(1,-1,2)$ - $v_2=(-1,2,0)$ - $v_3=(0,1,1)$
ovvero
${(f(v_1)=0),(f(v_2)=2v_2),(f(v_3)=v_3):}$
sappiamo, dalla teoria, che fissando come base di $RR^3$ sia per il dominio che per il codominio $B={v_1,v_2,v_3}$ si ottiene che l'immagine sarà generata dall'immagine dei vettori della base, ovvero
$Im(f)= = <2v_2,v_3> => dimIm(f)=2$
sempre dalla teoria sappiamo che, per la relazione dimensionale deve essere
$dimRR^3=dimIm(f)+dimKer(f) => dimKer(f)=1$
ovvero avremo il nucleo sarà generato dal solo vettore $v_1$ in quanto appartiene al nucleo, è linearmente indipendente(ogni sistema formato da un solo vettore non nullo è linearmente indipendente) e poichè per la relazione dimensionale il nucleo deve avere in ogni base un solo vettore, avremo che
$Ker(f)= $
Dopo aver trovato queste informazioni, andiamo prima al secondo punto.
L'idea è che vogliamo verificare che non esiste alcun endomorfismo $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ risulti invertibile.
Possiamo vederlo da due punti di vista diversi: uno puramente basato su quanto studiato delle applicazioni lineari e uno che si basa solo sulle caratteristiche 'funzionali' di $f$ e $g$.
Per cominciare, con il primo punto, ci serve un importante teorema sugli omomorfismi di spazi vettoriali.
siano $V,W$ due $K$ spazi vettoriali e $L:V->W$ un omomorfismo.
$L$ è iniettiva se e solo se $Ker(L)={0}$
$L$ è iniettiva se e solo se $Ker(L)={0}$
Ora possiamo portare avanti la dimostrazione.
Vogliamo pertanto dimostrare che non esista alcun endomorfismo $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile.
supponiamo per assurdo che tale endomorfismo esista, ovvero supponiamo che esista $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile. Poichè $gcircf$ è invertibile allora è iniettivo e quindi deve essere $Ker(gcircf)ne{0}$ ma $(gcircf)(v_1)=g(f(v_1))=g(0)=0 => v_1 inKer(gcircf)$
Questa è una contraddizione poichè si ottiene $v_1 inKer(gcircf)={0}$ senza che $v_1=0$
Pertanto tale endomorfismo non può esistere, perchè se esistesse, il nucleo non potrebbe essere banale e quindi non potrebbe essere iniettiva, né tantomeno invertibile!
Il secondo modo è più legato soltanto ad aspetti funzionali e usa la seguente proposizione:
siano $A,B,C$ insiemi $f:A->B$ e $g:B->C$ funzioni.
se $gcircf$ è iniettiva allora $f$ è iniettiva
se $gcircf$ è iniettiva allora $f$ è iniettiva
la dimostrazione di questo fatto è semplice.
sia $gcircf:A->C$ la composizione iniettiva
se $gcircf$ è iniettiva allora $forallx,y inA, f(x)=f(y) => g(f(x))=g(f(y)) => x=y$
dove usiamo essenzialmente che $f(x)=f(y) => g(f(x))=g(f(y))$ poichè $g$ è una funzione ed elementi uguali hanno immagini uguali. Poi il fatto che $g(f(x))=g(f(y))=>x=y$ per ipotesi di iniettività.
Questo come lo usiamo nel nostro esercizio? In questo modo
se esistesse $g:RR^3->RR^3$ tale che $gcircf$ sia invertibile significherebbe che $gcircf$ dovrebbe essere iniettiva allora per la proposizione precedente $f$ dovrebbe essere iniettiva, ma abbiamo visto che $f$ non è iniettiva, quindi otteniamo ancora la stessa contraddizione
Questo è del tutto analogo al ragionamento con le matrici, solo che devono esserti chiare alcune cose.
Ho cercato di spiegartelo nel miglior modo in cui io potessi farlo.
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