Funzione e continuità con aperti
Ciao a tutti, sono qui a invadere la vostra sezione e ho già trovato una discussione interessante ma vorrei aprirne una mia.
Premetto che sono un ingegnere al I anno quindi scusate la mia domanda non tanto intelligente, però il mio professore di analisi (dicendo che siamo capre ingegnere
e non vedremo cose interessanti) ci ha lasciato alcuni esercizi per ragionare un po' avendo fatto una introduzione basic di alcune nozioni di topologia.
vorrei dimostrare:
Dimostrare che una funzione $f : (X1, τ1) → (X2, τ2)$ è continua sse la retroimmagine di ogni sottoinsieme chiuso è un sottoinsieme chiuso
io ho pensato che un chiuso è il complementare di un qualche aperto.
Quindi se considero il sottoinsieme controimmagine di un aperto $A_2 in X_2$ (cioè $x in tau_2$) ho, per definizione: $f^-1(A_2)={x in X_1:f(x) in A_2}$
ogni tale aperto ha un rispettivo chiuso che è per definizione $A_2^c$ il complementare dell'aperto scelto.
Quindi $f^-1(A_2^c)={x in X_1: x!inf^-1(A_2)}={x in X_1:f(x) !in A_2}$ che coincide con la definizione di $(f^-1(A_2))^c$
(nell'ultima ho sfruttato che $(x in f^-1(A)<=> f(x) in A_2) <=> (x !in f^-1(A)<=> f(x) !in A_2)$)
Con questa dimostriamo che se f è continua (cioè manda tramite retroimmagine aperti in aperti) => manda chiusi del codominio tramite retroimmagine in chiusi.
Il mio dubbio qui è, in teoria penso che ogni chiuso essendo complementare di qualche aperto e che ogni aperto ha come complementare un chiuso, allora prendendo tutti gli A2 aperti e complementarizzandoli ho in effetti mostrato che ogni chiuso è mandato in controimmagine di un chiuso corretto? Se è corretto lo vedo intuitivamente ma come lo dimostro? Di fatto c'è una corrispondenza 1:1 tra tutti gli aperti e tutti i chiusi in sostanza e vorrei formalizzarlo meglio che usando solo l'intuizione. Questa è una mia prima domada che vi pongo.
Manca ora che se manda chiusi tramite retroimmagine in chiusi => è continua (cioè manda aperti in aperti con retroimmagine): ma questo è vero a parti invertite del discorso fatto sopra, basta partire da chiusi e rifare il ragionamento.
C'è un modo migliore di mostrarlo? Grazie!
Premetto che sono un ingegnere al I anno quindi scusate la mia domanda non tanto intelligente, però il mio professore di analisi (dicendo che siamo capre ingegnere
e non vedremo cose interessanti) ci ha lasciato alcuni esercizi per ragionare un po' avendo fatto una introduzione basic di alcune nozioni di topologia.vorrei dimostrare:
Dimostrare che una funzione $f : (X1, τ1) → (X2, τ2)$ è continua sse la retroimmagine di ogni sottoinsieme chiuso è un sottoinsieme chiuso
io ho pensato che un chiuso è il complementare di un qualche aperto.
Quindi se considero il sottoinsieme controimmagine di un aperto $A_2 in X_2$ (cioè $x in tau_2$) ho, per definizione: $f^-1(A_2)={x in X_1:f(x) in A_2}$
ogni tale aperto ha un rispettivo chiuso che è per definizione $A_2^c$ il complementare dell'aperto scelto.
Quindi $f^-1(A_2^c)={x in X_1: x!inf^-1(A_2)}={x in X_1:f(x) !in A_2}$ che coincide con la definizione di $(f^-1(A_2))^c$
(nell'ultima ho sfruttato che $(x in f^-1(A)<=> f(x) in A_2) <=> (x !in f^-1(A)<=> f(x) !in A_2)$)
Con questa dimostriamo che se f è continua (cioè manda tramite retroimmagine aperti in aperti) => manda chiusi del codominio tramite retroimmagine in chiusi.
Il mio dubbio qui è, in teoria penso che ogni chiuso essendo complementare di qualche aperto e che ogni aperto ha come complementare un chiuso, allora prendendo tutti gli A2 aperti e complementarizzandoli ho in effetti mostrato che ogni chiuso è mandato in controimmagine di un chiuso corretto? Se è corretto lo vedo intuitivamente ma come lo dimostro? Di fatto c'è una corrispondenza 1:1 tra tutti gli aperti e tutti i chiusi in sostanza e vorrei formalizzarlo meglio che usando solo l'intuizione. Questa è una mia prima domada che vi pongo.
Manca ora che se manda chiusi tramite retroimmagine in chiusi => è continua (cioè manda aperti in aperti con retroimmagine): ma questo è vero a parti invertite del discorso fatto sopra, basta partire da chiusi e rifare il ragionamento.
C'è un modo migliore di mostrarlo? Grazie!
Risposte
Ho un chiuso \(C_2\) e voglio dimostrare che \(f^{-1} C_2\) è chiuso. Basta provare che il complementare di \(f^{-1} C_2\) è aperto. Quindi [cose che sai fare, mi sembra di capire].
Se $A$ e $B$ sono tali per cui $A\cap B=\emptyset$ allora $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=\emptyset$
La funzione controimmaginie si comporta molto bene con tutte le operazioni insiemistiche, in generale.
Prendi $A\in X_2$ aperto, e poni $A^c=B$ il quale sarà chiuso per definizione. Ovviamente $A\cap B=\emptyset$.
$X_1=f^{-1}(A\cup B)= f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$
Poichè $f^{-1}(B)$ è chiuso(sto dimostrando una delle due implicazioni) e $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=\emptyset$, necessariamente si ha che: $f^{-1}(A)=[f^{-1}(B)]^c$ che è aperto per definizione.
L'altra implicazione la ottieni sostituendo la parola chiuso con aperto, e aperto con chiuso.
Su che libro vi fa studiare il buon pastore?
La funzione controimmaginie si comporta molto bene con tutte le operazioni insiemistiche, in generale.
Prendi $A\in X_2$ aperto, e poni $A^c=B$ il quale sarà chiuso per definizione. Ovviamente $A\cap B=\emptyset$.
$X_1=f^{-1}(A\cup B)= f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$
Poichè $f^{-1}(B)$ è chiuso(sto dimostrando una delle due implicazioni) e $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)=\emptyset$, necessariamente si ha che: $f^{-1}(A)=[f^{-1}(B)]^c$ che è aperto per definizione.
L'altra implicazione la ottieni sostituendo la parola chiuso con aperto, e aperto con chiuso.
Su che libro vi fa studiare il buon pastore?
Io vi ringrazio per le risposte e ho capito l'altro metodo.
1) Ma ciò che non ho capito è se il mio funziona?perché non mi sembra sbagliato e volevo capire.
2) Inoltre non mi sembra di aver ricevuto risposta alla prima domanda. Vorrei cioè in aggiunta dimostrarmi che tutti i chiusi sono 1:1 come rapporto con gli aperi, ovvero che non vi siano chiusi che non sono dati come complementare di qualche aperto e che tutti gli aperti sono complementari di qualche chiuso, ossia in alro modo detto che l'insieme dei chiusi è equipotente con quello degli aperti. Sapreste darmi una mano a formalizzare questo?
Posso chiedervi queste cose? Avete voglia di rispondervi? Grazie, sarei molto contento nel capire
PS: uso il De Mrco ma qui ho delle note del prof.
1) Ma ciò che non ho capito è se il mio funziona?perché non mi sembra sbagliato e volevo capire.
2) Inoltre non mi sembra di aver ricevuto risposta alla prima domanda. Vorrei cioè in aggiunta dimostrarmi che tutti i chiusi sono 1:1 come rapporto con gli aperi, ovvero che non vi siano chiusi che non sono dati come complementare di qualche aperto e che tutti gli aperti sono complementari di qualche chiuso, ossia in alro modo detto che l'insieme dei chiusi è equipotente con quello degli aperti. Sapreste darmi una mano a formalizzare questo?
Posso chiedervi queste cose? Avete voglia di rispondervi? Grazie, sarei molto contento nel capire
PS: uso il De Mrco ma qui ho delle note del prof.
"indenzenblao":
Io vi ringrazio per le risposte e ho capito l'altro metodo.
1) Ma ciò che non ho capito è se il mio funziona?perché non mi sembra sbagliato e volevo capire.
2) Inoltre non mi sembra di aver ricevuto risposta alla prima domanda. Vorrei cioè in aggiunta dimostrarmi che tutti i chiusi sono 1:1 come rapporto con gli aperi, ovvero che non vi siano chiusi che non sono dati come complementare di qualche aperto e che tutti gli aperti sono complementari di qualche chiuso, ossia in alro modo detto che l'insieme dei chiusi è equipotente con quello degli aperti. Sapreste darmi una mano a formalizzare questo?
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Certamente, quando hai dimostrato che $f^{-1}(A^c)=[f^{-1}(A)]^c$ stai apposto, perché se $A\in X_2$ è chiuso, il complemento $A^c$ è aperto, e se la funzione è continua lo è anche(aperto) $f^{-1}(A^c)$, e quindi pure $[f^{-1}(A)]^c$ essendo uguali, ma allora $f^{-1}(A)$ è chiuso perché complemento di aperto( ti ricordo che $(B^c)^c=B$ ).
Quindi mi pare che tu abbia risposto correttamente.
I chiusi sono 1 a 1 con gli aperti per semplice definizione, cioè in uno spazio di elementi si definiscono chi sono gli aperti(nel testo sono definiti quali insiemi sono aperti) e i chiusi sono tutti e solo quelli ad essi complementari.
grazie per l'aiuto e per la conferma di correttezza del mio metodo. Mi importava molto.
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