Funzione di Joukowski

[TomSawyer1]

Il mio dubbio riguarda un passaggio della risoluzione di questo esercizio:

Si trovi l'immagine di $|z|=2$ sotto l'applicazione $w=z+1/z$.

Si arriva a trovare che $u=5/2costheta$ e $v=3/2sintheta$. Poi il testo dice, subito dopo questo risultato,

"e quindi
$4/25u^2+4/9v^2=1$". Io pensavo si dovesse trovare $z$ da $5/2costheta+i3/2sintheta$, ma vengono calcoli lunghissimi. Come mai si è arrivati a quell'ellisse?

[Sk_Anonymous]

Secondo me si puo' fare cosi'.
Osserviamo che e' $zbar(z)=|z|^2=4$
Da cui:
$1/z=(bar(z))/4$ e quindi:
$w=z+(bar(z))/4$ ovvero $u+jv=x+jy+x/4-y/4j$
Pertanto:
$x=4/5u,y=4/3v$ e sostituendo in $x^2+y^2=4$ si ha:
$(16)/25u^2+(16)/9v^2=4$ e da qui appunto $4/(25)u^2+4/9v^2=1$
karl

[fireball1]

Non capisco cosa è rimasto da calcolare...
L'immagine dell'insieme dei numeri complessi
della forma $z=2(costheta+isintheta)$, con $theta in [0,2pi]$
sono tutti i numeri complessi della forma
$w=5/2 costheta + 3/2 i sintheta$, e cos'altro si deve calcolare?

[fireball1]

Ah ecco vedo che ha risposto karl... Ma ancora non ho capito cosa manca all'esercizio...

[fireball1]

Ah forse ho capito cosa intendete...
Io lo farei così. La curva immagine
di quell'insieme si può parametrizzare così:
${(x(theta)=5/2 costheta),(y(theta)=3/2 sintheta):}<=>{(2/5x=costheta),(2/3y=sintheta):}
da cui, facendo i quadrati di entrambi i membri
e sommando le due equazioni membro a membro
si trova l'equazione dell'ellisse.

[TomSawyer1]

"karl":Secondo me si puo' fare cosi'.
Osserviamo che e' $zbar(z)=|z|^2=4$
Da cui:
$1/z=(bar(z))/4$ e quindi:
$w=z+(bar(z))/4$ ovvero $u+jv=x+jy+x/4-y/4j$
Pertanto:
$x=4/5u,y=4/3v$ e sostituendo in $x^2+y^2=4$ si ha:
$(16)/25u^2+(16)/9v^2=4$ e da qui appunto $4/(25)u^2+4/9v^2=1$
karl

Proprio elegante questa soluzione.

Sì, hai ragione fireball, penso il che il libro sottindendesse il tuo procedimento, perché più immediato.