Funzione costante
Sto studiando topologia e ho qualche difficoltà nell affrontare esercizi del tipo:
Sia X uno spazio topologico con almento tre punti in cui tutti i suoi sottospazi propri sono connessi. Dimostrare che se $f:X->RR^2$ è continua, allora è la funzione costante.
Comincio supponendo per assurdo che f non è costante ma poi non so come procedere.
In generale per risolvere esercizi di questo tipo (dimostrare che f è costante), dopo ad aver posto per assurdo che f non è costante, dove devo andare a trovare l' assurdo?
Grazie!
Sia X uno spazio topologico con almento tre punti in cui tutti i suoi sottospazi propri sono connessi. Dimostrare che se $f:X->RR^2$ è continua, allora è la funzione costante.
Comincio supponendo per assurdo che f non è costante ma poi non so come procedere.
In generale per risolvere esercizi di questo tipo (dimostrare che f è costante), dopo ad aver posto per assurdo che f non è costante, dove devo andare a trovare l' assurdo?
Grazie!
Risposte
Boh, non c'è un metodo standard (il divertimento è quello! 
) Solitamente si fanno per assurdo (ma non è sempre così). Si cerca un assurdo applicando le definizioni e cercando di crearsi un po' di intuizione topologica.
Qui è semplice: supponi per assurdo che non sia costante. Allora esistono almeno due punti nella sua immagine, siano [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex]. Siccome [tex]\mathbb{R}^2[/tex] è di Haussdorf, possiamo trovare due aperti [tex]U[/tex] e [tex]V[/tex] disgiunti tali che [tex]P \in U, Q \in V[/tex]. Consideriamo [tex]S = f^{-1}(U\cup V)[/tex], dotato della topologia indotta. Chiaramente [tex]S[/tex] è un aperto in [tex]X[/tex] perché [tex]f[/tex] è continua e così devono essere [tex]f^{-1}(U)[/tex] e [tex]f^{-1}(V)[/tex]. Ma questo è assurdo perché [tex]f^{-1}(U), f^{-1}(V) \ne \emptyset[/tex], [tex]f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) = \emptyset[/tex] e [tex]f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V) = S[/tex]; essendo entrambi aperti in X (e quindi in S), seguirebbe che S è sconnesso, contro l'ipotesi!
) Solitamente si fanno per assurdo (ma non è sempre così). Si cerca un assurdo applicando le definizioni e cercando di crearsi un po' di intuizione topologica.Qui è semplice: supponi per assurdo che non sia costante. Allora esistono almeno due punti nella sua immagine, siano [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex]. Siccome [tex]\mathbb{R}^2[/tex] è di Haussdorf, possiamo trovare due aperti [tex]U[/tex] e [tex]V[/tex] disgiunti tali che [tex]P \in U, Q \in V[/tex]. Consideriamo [tex]S = f^{-1}(U\cup V)[/tex], dotato della topologia indotta. Chiaramente [tex]S[/tex] è un aperto in [tex]X[/tex] perché [tex]f[/tex] è continua e così devono essere [tex]f^{-1}(U)[/tex] e [tex]f^{-1}(V)[/tex]. Ma questo è assurdo perché [tex]f^{-1}(U), f^{-1}(V) \ne \emptyset[/tex], [tex]f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) = \emptyset[/tex] e [tex]f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V) = S[/tex]; essendo entrambi aperti in X (e quindi in S), seguirebbe che S è sconnesso, contro l'ipotesi!
ok... Questo dovrei essere riuscito a risolverlo:
Sia $B={\varphi,[a,b), a,b in ZZ, a
Premetto che ho gia dime che X non è connesso.
Io ho provato supponendo per assurdo che non sia costante e quidi esistono $x_1,x_2 in RR^2$ tali che hanno immagine diversa.
Considero un arco f tra $x_1$ e $x_2$ in $RR^2$. Poiche g è continua allora $gf$ è arco tra $g(x_1)$ e $g(x_2)$.
Per l' arbitrarietà di g X è connesso per archi. Assurdo.
é corretto?
P.S.
Sia $B={\varphi,[a,b), a,b in ZZ, a
Premetto che ho gia dime che X non è connesso.
Io ho provato supponendo per assurdo che non sia costante e quidi esistono $x_1,x_2 in RR^2$ tali che hanno immagine diversa.
Considero un arco f tra $x_1$ e $x_2$ in $RR^2$. Poiche g è continua allora $gf$ è arco tra $g(x_1)$ e $g(x_2)$.
Per l' arbitrarietà di g X è connesso per archi. Assurdo.
é corretto?
P.S.
Solitamente si fanno per assurdo (ma non è sempre così)Mi potresti fare un esempio? (Anche solo il testo dell' esercizio poi ci provo io) Grazie!
Ma sei sicuro del testo dell'esercizio? Considera [tex]\varphi : \mathbb{R}^2 \to [0,1)[/tex] definita da [tex]\varphi(x,y) = 1 - e^{-x^2 - y^2}[/tex]. Fissato [tex](x_0,y_0)[/tex] l'immagine [tex]\varphi(x_0,y_0)[/tex] è contenuta in [tex][0,1)[/tex]; ogni suo intorno nella topologia da te introdotta deve necessariamente contenere [tex][0,1)[/tex]; ora prendendo come intorno di [tex](x_0,y_0)[/tex] l'intero [tex]\mathbb{R}^2[/tex], soddisfiamo la condizione di continuità, e di certo [tex]\varphi(x,y)[/tex] non è costante!
Il tue esempio parla chiaro però questo esercizio l' ho preso da un esame di alcuni anni fa...
Forse bisognerebbe aggiungere che la funzione deve anche essere suriettiva?
Forse bisognerebbe aggiungere che la funzione deve anche essere suriettiva?
Suriettiva su [tex]\mathbb{R}[/tex] e costante sono due concetti che insieme non vanno molto d'accordo... di sicuro manca qualche ipotesi, ma adesso non saprei dirti quale...
Non vorrei dire cose insensate, pero' mi pare anche che nella dimostrazione ci siano degli errori di scrittura.
Volevi forse dire in $RR^2$.
Qui per f intenfi la "funzione d arco" continua tra $x1$ e $x2$ se ho capito bene?
La questione che nn mi convince pero' e' questa: la dimostrazione fa vedere che possono esistere due punti in X connessi per archi, e questo potrebbe non essere una vera contraddizione perche' potrebbero semplicemente far parte di una stessa componente connessa, che anche in uno spazio sconnesso possono esistere.. (giusto?)
Io ho provato supponendo per assurdo che non sia costante e quidi esistono $x1,x2∈X$ tali che hanno immagine diversa.
Volevi forse dire in $RR^2$.
Poiche g è continua allora gf è arco tra g(x1) e g(x2).
Qui per f intenfi la "funzione d arco" continua tra $x1$ e $x2$ se ho capito bene?
La questione che nn mi convince pero' e' questa: la dimostrazione fa vedere che possono esistere due punti in X connessi per archi, e questo potrebbe non essere una vera contraddizione perche' potrebbero semplicemente far parte di una stessa componente connessa, che anche in uno spazio sconnesso possono esistere.. (giusto?)
Giusto. Infatti ho costruito il mio controesempio basandomi proprio sulla tua ultima considerazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo