Funzione continua su un intervallo

[Angus1956]

Sia $XsubeRR$ e sia $f:X->RR$ continua e iniettiva. Si dimostri che $f(X)$ è un intervallo.
Ovviamente questa dimostrazione può essere fatto usando il teorema dei valori medi, ma volevo capire se ci fosse anche una dimostrazione "topologica". Per dimostrare che $f(X)$ è un intervallo, presi $a,binf(X)$ con $a<=b$ devo mostrare che $[a,b]subef(X)$. Sappiamo che $[a,b]$ è un chiuso di $RR$ per cui $f^-1[a,b]$ è un chiuso di $X$(per la continuità di $f$) e quindi per la topologia (dei chiusi) indotta su $X$ si ha che $f^-1[a,b]=(nn[x,y])nnX$ dove $x,yRR$. Inoltre siccome $a,binF(X)$ allora $EEc,dinX$ tale che $f(x)=a$ e $f(y)=b$. Però non so come andare avanti per bene, se qualcuno saprebbe dirmi, grazie.

[Angus1956]

Forse potrebbe essere utile il fatto che $f$ è iniettiva e quindi in generale vale che presa ${U_i}_i$ una famiglia di sottoinsiemi di $X$ si ha $f(nn_(iinI)U_i)=nn_(iinI)f(U_i)$?

[j18eos]

Buon dì;

fino all'affermazione che \(\displaystyle f^{-1}([a,b])\) sia un sottoinsieme chiuso di \(X\): l'ho capìto. Poi più nulla...

...e manca almeno una ipotesi!

Esempio. L'inclusione \(\displaystyle i:\{0,1\}\hookrightarrow[0,1]\) è iniettiva e continua, se su \(\displaystyle\{0,1\}\) si considera la topologia [strike]banale[/strike] discreta!

[Angus1956]

"j18eos":Buon dì;


...e manca almeno una ipotesi!

Esempio. L'inclusione \(\displaystyle i:\{0,1\}\hookrightarrow[0,1]\) è iniettiva e continua, se su \(\displaystyle\{0,1\}\) si considera la topologia banale!

Guarda ti faccio vedere, il testo, dimmi tu:




Comunque per la parte dopo che non hai capito del mio ragionamento ho sfruttato la topologia indotta da $X$ su $RR$ ovvero che ogni chiuso di $X$ si scrive come un chiuso di $RR$ intersecato $X$ e i chiusi di $RR$ sono dati dall'intersezione degli elementi della base dei chiusi di $RR$ che sono i compatti

[Angus1956]

"j18eos":

Esempio. L'inclusione \(\displaystyle i:\{0,1\}\hookrightarrow[0,1]\) è iniettiva e continua, se su \(\displaystyle\{0,1\}\) si considera la topologia banale!

Scusami ma in teoria se faccio $i^-1(0,1/2)={0}$ che siccome stai considerando la topologia banale (in cui gli unici aperti sono il vuoto e ${0,1}$) si ha che ${0}$ non è un aperto.

[j18eos]

Ho corretto: grazie!

...e comunque ti sei dimenticato di scrivere che \(X\) stesso è un intervallo!

[Angus1956]

"j18eos":

...e comunque ti sei dimenticato di scrivere che \(X\) stesso è un intervallo!

Scusami hai ragione, non me ne ero accorto. Volevo sapere però se questa proprietà è vera intanto:

"andreadel1988":Forse potrebbe essere utile il fatto che $ f $ è iniettiva e quindi in generale vale che presa $ {U_i}_i $ una famiglia di sottoinsiemi di $ X $ si ha $ f(nn_(iinI)U_i)=nn_(iinI)f(U_i) $?

[otta96]

"andreadel1988":Forse potrebbe essere utile il fatto che $f$ è iniettiva e quindi in generale vale che presa ${U_i}_i$ una famiglia di sottoinsiemi di $X$ si ha $f(nn_(iinI)U_i)=nn_(iinI)f(U_i)$?

Questa cosa è vera, prova a dimostrarla.

[Martino]

"andreadel1988":Sia $XsubeRR$ un intervallo e sia $f:X->RR$ continua e iniettiva. Si dimostri che $f(X)$ è un intervallo.

Io farei così: se $f(X)$ non è un intervallo allora esistono $a
$A={x in X : f(x) $B={x in X : f(x)>c}$

Argomenta che si tratta di due aperti di $X$ non vuoti e disgiunti la cui unione è $X$ e deduci una contraddizione.

L'iniettività non serve.

[j18eos]

@Martino La tua dimostrazione funzione perché \(X\) è intervallo; forse l'iniettività serve ad altro, tipo dimostrare che \(f\) è monótona.

[Martino]

Ma $X$ è un intervallo per ipotesi.

[Angus1956]

"j18eos":@Martino La tua dimostrazione funzione perché \(X\) è intervallo; forse l'iniettività serve ad altro, tipo dimostrare che \(f\) è monótona.

Si serve per dimostrare che è strettamente monotona e poi lo uso per dimostrare che $f:X->f(X)$ è aperta usando questo:

"andreadel1988":Forse potrebbe essere utile il fatto che $f$ è iniettiva e quindi in generale vale che presa ${U_i}_i$ una famiglia di sottoinsiemi di $X$ si ha $f(nn_(iinI)U_i)=nn_(iinI)f(U_i)$

[Martino]

Sì ok ma ciò non toglie che l'ipotesi di iniettività è superflua.

[j18eos]

Sì Martino, nulla da eccepire.

Era solo una sottolineatura atta a non creare confusioni future.

[Angus1956]

"Martino":Io farei così: se $f(X)$ non è un intervallo allora esistono $a
$A={x in X : f(x) $B={x in X : f(x)>c}$

Argomenta che si tratta di due aperti di $X$ non vuoti e disgiunti la cui unione è $X$ e deduci una contraddizione.

Comunque si, ho capito, usi il fatto che gli intervalli di $RR$ sono connessi e questi due insiemi sono due aperti disgiunti che uniti fanno l'intervallo e quindi uno dei due deve essere il vuoto, ma allora o $a$ o $b$ non starebbe in $f(X)$ il che è assurdo. Noi però il fatto che i connessi di $RR$ sono solo gli intervalli ancora lo abbiamo dimostrato (credo che lo faremo più in là) quindi non so se posso usarlo, pero grazie lo stesso.