Funzione continua in spazi topologici
Dire se la funzione $f(x,y)=(x^2+y^2,0)$ è continua nella topologia avente come base le rette $x=a$ con $a<=0$ e dai dischi aperti per $x>0$. dire anche se la funzione e' aperta.
la funzione sicuramente non e' aperta perchè una retta, aperta nel dominio, viene trasformata nella retta y=0 che non è un aperto della topologia.
Per quanto riguarda lo studio della continuità sono in difficoltà.
Allora, dovrei ragionare così: prendo un punto del dominio, ad esempio (-1,-1), faccio l'immagine mediante f e ottengo il punto (2,0). prendo un intorno di (2,0), gli unici possibili sono i dischi contenenti (2,0), ne prendo uno, diciamo quello di centro (2,0) e raggio 1, ma qui mi blocco.
la funzione sicuramente non e' aperta perchè una retta, aperta nel dominio, viene trasformata nella retta y=0 che non è un aperto della topologia.
Per quanto riguarda lo studio della continuità sono in difficoltà.
Allora, dovrei ragionare così: prendo un punto del dominio, ad esempio (-1,-1), faccio l'immagine mediante f e ottengo il punto (2,0). prendo un intorno di (2,0), gli unici possibili sono i dischi contenenti (2,0), ne prendo uno, diciamo quello di centro (2,0) e raggio 1, ma qui mi blocco.
Risposte
Hai detto bene che \(f\) non è aperta, ma hai sbagliato l'immagine!
Come dice la mia prof. di topologia (e tiene ragione): "Il guaio di voi studenti di oggi è che non sapete calcolare le anti-immagini!", quindi: l'anti-immagine dl punto \((1;0)\) mediante \(f\) chi è? Ti ricordo che \(\{(1;0)\}\) è un chiuso, e quindi...
Per rispondere a questa domanda, devi utilizzare la definizione di anti-immagine!
Come dice la mia prof. di topologia (e tiene ragione): "Il guaio di voi studenti di oggi è che non sapete calcolare le anti-immagini!", quindi: l'anti-immagine dl punto \((1;0)\) mediante \(f\) chi è? Ti ricordo che \(\{(1;0)\}\) è un chiuso, e quindi...
Per rispondere a questa domanda, devi utilizzare la definizione di anti-immagine!
"biggest":Cosa intendi con "i dischi aperti per [tex]x > 0[/tex]?" Intendi i dischi aperti centrati in [tex](x,0)[/tex] per [tex]x > 0[/tex] ?
Dire se la funzione $f(x,y)=(x^2+y^2,0)$ è continua nella topologia avente come base le rette $x=a$ con $a<=0$ e dai dischi aperti per $x>0$. dire anche se la funzione e' aperta.
"Martino":
Cosa intendi con "i dischi aperti per [tex]x > 0[/tex]?" Intendi i dischi aperti centrati in [tex](x,0)[/tex] per [tex]x > 0[/tex] ?
intendo che nel semipiano $x>0$ gli aperti sono tutti i dischi avente centro un punto qualsiasi del semipiano e per re
"j18eos":
l'anti-immagine dl punto \((1;0)\) mediante \(f\) chi è?
sono i punti della disco di centro (0,0) e raggio 1, che dunque, trovandosi per meta' nel semipiano negativo x<0 non esiste alcun intorno contenente la circonferenza goniometrica. quindi la funzione non è continua.
per quanto riguarda il fatto dell'aperto devo prendere una retta, prendo quella i cui punti sono del tipo (-1,h), faccio l'immagine e ottengo (h^2+1,0), quindi dovrebbe essere una semiretta di origine (1,0) che si trova sull'asse delle ascisse, che dunque non e' un paerto poiche' in tale semipiano gli aperti sono i dischi. giusto?
Esatto biggest; attenzione al formalismo quando sosterrai l'esame, come ti ha sottolineato Martino! 
"biggest":sono i punti della disco di centro (0,0) e raggio 1, che dunque, trovandosi per meta' nel semipiano negativo x<0 non esiste alcun intorno contenente la circonferenza goniometrica. quindi la funzione non è continua.
[quote="j18eos"]l'anti-immagine dl punto \((1;0)\) mediante \(f\) chi è?
per quanto riguarda il fatto dell'aperto devo prendere una retta, prendo quella i cui punti sono del tipo (-1,h), faccio l'immagine e ottengo (h^2+1,0), quindi dovrebbe essere una semiretta di origine (1,0) che si trova sull'asse delle ascisse, che dunque non e' un paerto poiche' in tale semipiano gli aperti sono i dischi. giusto?[/quote]Questa tua dimostrazione e' un po' troppo sull'intuitivo. Quanto hai scritto non verrebbe considerato un valido svolgimento dell'esercizio.
Se ho ben capito,
(*) gli aperti sono le rette [tex]x=a[/tex] con [tex]a \leq 0[/tex] e tutti i dischi del tipo [tex]\{v \in \mathbb{R}^2\ |\ ||v-c|| < r\}[/tex] dove [tex]c = (a,b) \in \mathbb{R}^2[/tex], [tex]a > 0[/tex] e [tex]0 < r \in \mathbb{R}[/tex].
Giusto?
Non e' vero che nel semipiano a destra gli aperti sono i dischi, i dischi sono una base di aperti del semipiano. Puoi osservare che questo implica che la topologia indotta nel semipiano a destra (sempre se ho ben capito, cioe' se (*) vale) e' quella euclidea (cf. sotto).
Per mostrare che la funzione non e' continua usando il suggerimento di j18eos devi mostrare che la circonferenza di centro l'origine e raggio 1 non e' un chiuso.
Per mostrare che la funzione non e' aperta usando il tuo metodo devi dimostrare che la semiretta parametrizzata da [tex](h^2+1,0)[/tex] non e' un aperto.
Si, la topologia è quella euclidea nel semipiano a destra (scusami, concettualmente ho fatto un errore grave, ma comunque ai fini della continuità, ciò che mi interesas sono gli aperti della base, poichè gli altri li ottengo come unione di elementi della base). Per mostrare che la circonferenza non è un chiuso, non è sufficiente vedere chi è il complementare, se il complementare è un aperto, allora la circonferenza sarà un chiuso, visto che il complementare non è un aperto, poichè non è unione di aperti della topologia?
Certo che è sufficiente, ma tu non l'hai fatto 
Scusa , Martino, non è che potresti mostrami come lo formalizzeresti?
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