Funzione aperta
Qualcuno può spiegarmi cos'è una funzione aperta? e magari fare qualche esempio di funzioni aperte e funzioni che non sono aperte? grazie in anticipo
Risposte
prova ad andare in questo sito, forse ne hai sentito parlare:
http://www.google.it/
scrivi "funzione aperta" e premi invio.
dovrebbero apparirti dei link, tra cui uno a un certo sito che si chiama wikipedia.
prova a leggere lì, poi se hai ancora dubbi torna pure a chiedere.
http://www.google.it/
scrivi "funzione aperta" e premi invio.
dovrebbero apparirti dei link, tra cui uno a un certo sito che si chiama wikipedia.
prova a leggere lì, poi se hai ancora dubbi torna pure a chiedere.
Ciao "blackbishop13", grazie per la risposta, ma avevo già cercato in rete, solo che ho capito a grandi linee cos'è, ma non riesco a capirlo bene, per esempio se ho l'inclusione $i:C->R^2$ con $C$ curva chiusa ad esempio una circonferenza, i è chiusa, aperta, ne uno ne l'altro?
[mod="dissonance"]Sposto nella sezione di Geometria, più adatta ad una questione di topologia generale come questa.[/mod]
ok 
, pensavo che analisi potesse andar bene.
, pensavo che analisi potesse andar bene.
Su [tex]$C$[/tex] suppongo tu abbia la topologia indotta da $\mathbb{R}^2$.
Devi semplicemente chiederti: se prendo un aperto generico del dominio, e lo mando in nel codominio, resta aperto?
Cioè devi domandarti se un pezzo di curva in $\mathbb{R}^2$ può mai risultare aperto.
Ricorda che una base di $\mathbb{R}^2$ con la topologia euclidea è data dalle palle aperte.
E se mandi un pezzo di curva che nel dominio risulta chiuso, come è nel codominio, cioè in $\mathbb{R}^2$ ?
Devi semplicemente chiederti: se prendo un aperto generico del dominio, e lo mando in nel codominio, resta aperto?
Cioè devi domandarti se un pezzo di curva in $\mathbb{R}^2$ può mai risultare aperto.
Ricorda che una base di $\mathbb{R}^2$ con la topologia euclidea è data dalle palle aperte.
E se mandi un pezzo di curva che nel dominio risulta chiuso, come è nel codominio, cioè in $\mathbb{R}^2$ ?
Grazie Steven ma purtroppo non so rispondere alle domande, non riesci ad aiutarmi di più?
io non capisco come agisce la topologia indotta cioè $C$ è una curva chiusa quindi è un chiuso di $RR^2$, con la topologia indotta da $RR^2$ cosa diventa?
In teoria essendo $i:C->RR^2$ l'inclusione, se su $C$ ho la topologia indotta da $RR^2$ anche sull'immagine devo considerare la topologia indotta sempre da $RR^2$?
$i$ mandando $C$ in se stesso dovrebbe essere una funzione aperta. boh non lo so, aiuto!
io non capisco come agisce la topologia indotta cioè $C$ è una curva chiusa quindi è un chiuso di $RR^2$, con la topologia indotta da $RR^2$ cosa diventa?
In teoria essendo $i:C->RR^2$ l'inclusione, se su $C$ ho la topologia indotta da $RR^2$ anche sull'immagine devo considerare la topologia indotta sempre da $RR^2$?
$i$ mandando $C$ in se stesso dovrebbe essere una funzione aperta. boh non lo so, aiuto!
Senza sapere come è fatto un aperto nella topologia del dominio, visto che la funzione è l'inclusione devi solo chiederti se un pezzo di curva in $RR^2$ può essere aperto.
Se lo fosse, sarebbe unione di elementi della base (i cerchi aperti).
Ma un unione di cerchi, per quanto piccoli, possono mai essere una curva (o un pezzo di essa)?
Te ne accorgi anche vedendo che nessun intorno (sempre cerchio aperto) di un punto della curva è contenuto nella curva.
Quindi nessuna immagine è aperta (salvo il vuoto), e la funzione non può essere aperta.
Per i chiusi: se intersechi la curva con un chiuso di $RR^2$ ottieni un pezzo (o più) di curva che contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Il caso più facile è un pezzo di curva con gli estremi inclusi.
Poi ci sono altri casi, come ad esempio un punti solo, che è sempre chiuso.
Se tu mandi ad esempio un tratto di curva, estremi compresi, in $RR^2$, sai dire se questo elemento per la topologia euclidea è chiuso o no?
A presto.
Se lo fosse, sarebbe unione di elementi della base (i cerchi aperti).
Ma un unione di cerchi, per quanto piccoli, possono mai essere una curva (o un pezzo di essa)?
Te ne accorgi anche vedendo che nessun intorno (sempre cerchio aperto) di un punto della curva è contenuto nella curva.
Quindi nessuna immagine è aperta (salvo il vuoto), e la funzione non può essere aperta.
Per i chiusi: se intersechi la curva con un chiuso di $RR^2$ ottieni un pezzo (o più) di curva che contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Il caso più facile è un pezzo di curva con gli estremi inclusi.
Poi ci sono altri casi, come ad esempio un punti solo, che è sempre chiuso.
Se tu mandi ad esempio un tratto di curva, estremi compresi, in $RR^2$, sai dire se questo elemento per la topologia euclidea è chiuso o no?
A presto.
Grazie Steven ma ho ancora bisogno di aiuto.
Da quello che capisco per studiare se $C$ è un'aperto bisogna vedere se è unione di cerchi aperti di $RR^2$ mentre per vedere se è chiuso bisogna vedere se è un'intersezione tra dischi chiusi di $RR^2$ e la curva stessa?
ma nel mio caso dell'inclusione qual'è la risposta? è una funzione chiusa? ma essendo che l'inclusione i (in questione) è una funzione continua ed iniettiva risulta che se è chiusa è anche aperta. c'è qualcosa che non va.?.$C$ è una sottovarietà di $RR^2$?
La risposta alla tua domanda "Se tu mandi ad esempio un tratto di curva, estremi compresi, in $RR^2$, sai dire se questo elemento per la topologia euclidea è chiuso o no? " dovrebbe essere si, è un chiuso. ho capito?
Cosa intendi con "Senza sapere come è fatto un aperto nella topologia del dominio" ? cosa cambierebbe nel caso che la funzione non fosse un'inclusione?
Da quello che capisco per studiare se $C$ è un'aperto bisogna vedere se è unione di cerchi aperti di $RR^2$ mentre per vedere se è chiuso bisogna vedere se è un'intersezione tra dischi chiusi di $RR^2$ e la curva stessa?
ma nel mio caso dell'inclusione qual'è la risposta? è una funzione chiusa? ma essendo che l'inclusione i (in questione) è una funzione continua ed iniettiva risulta che se è chiusa è anche aperta. c'è qualcosa che non va.?.$C$ è una sottovarietà di $RR^2$?
La risposta alla tua domanda "Se tu mandi ad esempio un tratto di curva, estremi compresi, in $RR^2$, sai dire se questo elemento per la topologia euclidea è chiuso o no? " dovrebbe essere si, è un chiuso. ho capito?
Cosa intendi con "Senza sapere come è fatto un aperto nella topologia del dominio" ? cosa cambierebbe nel caso che la funzione non fosse un'inclusione?
ma essendo che l'inclusione i (in questione) è una funzione continua ed iniettiva risulta che se è chiusa è anche aperta
Sei sicura di questo?
E' un po' che non faccio topologia, quindi non saprei.
Non serve anche la suriettività, ovvero che la funzione sia biunivoca?
La risposta alla tua domanda "Se tu mandi ad esempio un tratto di curva, estremi compresi, in , sai dire se questo elemento per la topologia euclidea è chiuso o no? " dovrebbe essere si, è un chiuso. ho capito?
Sì, è così.
Cosa intendi con "Senza sapere come è fatto un aperto nella topologia del dominio" ? cosa cambierebbe nel caso che la funzione non fosse un'inclusione?
Se la funzione non fosse l'inclusione potremmo avere i casi più disparati, non penso che possiamo discuterne così in generale.
Quello che intendevo era questo: funzione aperta significa che aperto va in aperto.
Ora, noi sappiamo che un pezzo di curva in $RR^2$ non può mai essere aperto (sia che abbia gli estremi sia che non li abbia).
Quindi mandando un pezzo di curva in $RR^2$ mediante l'inclusione, aperto o chiuso (o nessuno dei due) che sia (nella topologia del domino, che è quella indotta), otteniamo sempre e comunque un non aperto (nella topologia euclidea solito, nel codominio).
Quindi la funzione non è aperta, perché ogni cosa va in un "non aperto", quindi a maggior ragione anche un aperto va in "non aperto".
Spero di essermi spiegato (e di non aver commesso errori
).
"Steven":Direi proprio che serve la suriettivitàma essendo che l'inclusione i (in questione) è una funzione continua ed iniettiva risulta che se è chiusa è anche apertaSei sicura di questo?
E' un po' che non faccio topologia, quindi non saprei.
Non serve anche la suriettività, ovvero che la funzione sia biunivoca?
Un controesempio è dato proprio dall'inclusione di un chiuso non aperto dentro tutto lo spazio. Se X è uno spazio topologico e C è un chiuso di X che non è aperto allora l'inclusione di C in X è una funzione chiusa ma non aperta. E il motivo per cui non è aperta è che C è aperto in C ma non è aperto in X.
Ok grazie a tutti, ma questo è corretto?
ho ancora 4 cose da chiedere:
1)è giusto allora dire che la circonferenza non èuna sottovarietà di $RR^2$?
2)se ho una inclusione $i:S->RR^3$ dove con $S$ intendo una sfera, $i$ è aperta o chiusa? $S$ è una sottovarietà di $RR^3$?
3)esiste una parametrizzazione della sfera tale che sia un embedding? io non la trovo,se c'è potreste scrivermela?
4)può una superficie $A$, data da $f:RR^2->RR^3$, essere parametrizzata in modo che $f$ non sia un embedding, ma $A$ risultare comunque sottovarietà di $RR^3$? oppure se $A$ è una sottovarietà di $RR^3$ allora $f$ che parametrizzata $A$ deve essere obligatoriamente un embedding?
grazie ancora
"tinam73":
Da quello che capisco per studiare se $C$ è un'aperto bisogna vedere se è unione di cerchi aperti di $RR^2$ mentre per vedere se è chiuso bisogna vedere se è un'intersezione tra dischi chiusi di $RR^2$ e la curva stessa?
ho ancora 4 cose da chiedere:
1)è giusto allora dire che la circonferenza non èuna sottovarietà di $RR^2$?
2)se ho una inclusione $i:S->RR^3$ dove con $S$ intendo una sfera, $i$ è aperta o chiusa? $S$ è una sottovarietà di $RR^3$?
3)esiste una parametrizzazione della sfera tale che sia un embedding? io non la trovo,se c'è potreste scrivermela?
4)può una superficie $A$, data da $f:RR^2->RR^3$, essere parametrizzata in modo che $f$ non sia un embedding, ma $A$ risultare comunque sottovarietà di $RR^3$? oppure se $A$ è una sottovarietà di $RR^3$ allora $f$ che parametrizzata $A$ deve essere obligatoriamente un embedding?
grazie ancora
"tinam73":
3)esiste una parametrizzazione della sfera tale che sia un embedding? io non la trovo,se c'è potreste scrivermela?
Beh in teoria non può esistere, cioè se $f:RR^2->RR^3$ fosse la sfera in questione, se $f$ fosse un embedding significherebbe che la nostra sfera ($f(RR^2)$) sarebbe un omeomorfismo col piano $RR^2$ e come si sa la sfera ed il piano non sono omeomorfi, non sono nemmeno omotopi.
Grazie per la risposta Alexp,
mi potresti, tu o qualcun'altro, rispondere anche alle altre 3 domande? è importante, specialmente la numero 4.
mi potresti, tu o qualcun'altro, rispondere anche alle altre 3 domande? è importante, specialmente la numero 4.
Risposta alla domanda 2!
Strutturato [tex]\mathbb{R}^3[/tex] con la topologia naturale e la superficie sferica [tex]S[/tex] con la topologia indotta, l'inclusione è un'applicazione continua per cui chiusa essendo [tex]S[/tex] uno spazio topologico compatto ed [tex]\mathbb{R}^3[/tex] uno spazio topologico di Hausdorff e quindi è anche un'applicazione propria!
P.S.: Un'applicazione propria tra spazi topologici è un'applicazione continua chiusa tra essi tale che l'anti-immagine di un elemento del codominio sia un sottoinsieme compatto del dominio.
Strutturato [tex]\mathbb{R}^3[/tex] con la topologia naturale e la superficie sferica [tex]S[/tex] con la topologia indotta, l'inclusione è un'applicazione continua per cui chiusa essendo [tex]S[/tex] uno spazio topologico compatto ed [tex]\mathbb{R}^3[/tex] uno spazio topologico di Hausdorff e quindi è anche un'applicazione propria!
P.S.: Un'applicazione propria tra spazi topologici è un'applicazione continua chiusa tra essi tale che l'anti-immagine di un elemento del codominio sia un sottoinsieme compatto del dominio.
"tinam73":Io direi che, qualsiasi definizione di "sottovarietà" tu possa adottare, la circonferenza sarà sempre una sottovarietà di $RR^2$. E' proprio l'esempio più classico possibile.
1)è giusto allora dire che la circonferenza non èuna sottovarietà di $RR^2$?
ma se per sottovarietà intendo $i$ un'inclusione differenziale (embedding), si può avere che: $f:RR^2->RR^3$ non sia un'embedding e che $i:f(RR^2)->RR^3$ sia una embedding? $i$ non dovrebe essere $f*f^(-1)(f(RR^2))->f(RR^2)$ ? dunque se $f$ non è un'embedding neanche la composizione $i=f*f^(-1)$ dovrebbe esserlo.
quindi se Alexp dice che non esiste una parametrizzazione $f:RR^2->RR^3$ della sfera tale che $f$ sia un embedding, come può j18eos dire che la sfera è una sottovarietà di $RR^3$? c'è qualcuno che possa aiutarmi a capire?
quindi se Alexp dice che non esiste una parametrizzazione $f:RR^2->RR^3$ della sfera tale che $f$ sia un embedding, come può j18eos dire che la sfera è una sottovarietà di $RR^3$? c'è qualcuno che possa aiutarmi a capire?
Allora, facciamo un po' di ordine....
VARIETA' TOPOLOGICA
Una varietà topologica di dimensione $n$ è uno spazio topologico di Hausdorff $X$ in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo ad un aperto dello spazio euclideo $n$-dimensionale . Il numero $n$ è la dimensione della varietà. Un omeomorfismo fra un aperto di $X$ e un aperto di $RR^n$ è detto una carta.
VARIETA' DIFFERENZIALE
Una varietà differenziale è una varietà topologica in cui le carte sono applicazioni differenziabili di classe $C^1$. Da questo si evince che le carte che compongono una varietà differenziale sono dei diffeomorfismi quindi degli embedding, sono dunque degli esempi di immersioni iniettive che sono anche embedding (il concetto di immersione è più generale e si riferisce ad una mappa tra varietà che può essere o no un embedding, ma che sicuramente sarà un embedding locale, nel caso si consideri come immersione una carta, allora l'immersione è un embedding.).
Prendendo in considerazione una superficie regolare (in GD per superficie regolare in genere si intende appunto una 2-varietà differenziale) ed essendo che l'inclusione naturale $i$ è data dalla composizione $f*f^(-1)*f(X)->RR^n$, risulta abbastanza ovvio che sia un embedding.
ATTENZIONE!!! non tutte le $n$-varietà regolari sono sottovarietà di $RR^(n+1)$ come nel caso delle superfici, ma un noto teorema che porta il nome di teorema di Whitney, afferma che una $n$-varietà regolare si embedda in $RR^(2n+1)$, caso semplice sono le curve infatti la curva è una 1-varietà ed essa non è detto che si embeddi in $RR^2$, infatti la curva potrebbe non essere contenuta in un piano, ma sarà sicuramente contenuta in $RR^(2n+1)$, ossia in $RR^3$.
Torniamo ora, dopo questa digressione, al tuo caso della sfera...è vero che la sfera è una sottovarietà di $RR^3$ (come dice giustamente"j18eos"), ma non lo è se la si parametrizza con una sola carta, perchè non esiste una una carta che sia embedding, altrimenti come ti dicevo sarebbe la sfera omeomorfa ad $RR^2$. Dire che la sfera è una sottovarietà significa che esisterà almeno un atlante tale che le carte siano degli embedding....stessa cosa è giustissimo quello che dice "dissonance", ossia anche la circonferenza è un classico caso di sottovarietà di $RR^2$, solo che come la sfera, anche per essa non esiste una carta sola che sia un embedding che la parametrizzi.
Spero di essermi spiegato bene, magari qualcuno vorrà aggiungere qualcosa!
VARIETA' TOPOLOGICA
Una varietà topologica di dimensione $n$ è uno spazio topologico di Hausdorff $X$ in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo ad un aperto dello spazio euclideo $n$-dimensionale . Il numero $n$ è la dimensione della varietà. Un omeomorfismo fra un aperto di $X$ e un aperto di $RR^n$ è detto una carta.
VARIETA' DIFFERENZIALE
Una varietà differenziale è una varietà topologica in cui le carte sono applicazioni differenziabili di classe $C^1$. Da questo si evince che le carte che compongono una varietà differenziale sono dei diffeomorfismi quindi degli embedding, sono dunque degli esempi di immersioni iniettive che sono anche embedding (il concetto di immersione è più generale e si riferisce ad una mappa tra varietà che può essere o no un embedding, ma che sicuramente sarà un embedding locale, nel caso si consideri come immersione una carta, allora l'immersione è un embedding.).
Prendendo in considerazione una superficie regolare (in GD per superficie regolare in genere si intende appunto una 2-varietà differenziale) ed essendo che l'inclusione naturale $i$ è data dalla composizione $f*f^(-1)*f(X)->RR^n$, risulta abbastanza ovvio che sia un embedding.
ATTENZIONE!!! non tutte le $n$-varietà regolari sono sottovarietà di $RR^(n+1)$ come nel caso delle superfici, ma un noto teorema che porta il nome di teorema di Whitney, afferma che una $n$-varietà regolare si embedda in $RR^(2n+1)$, caso semplice sono le curve infatti la curva è una 1-varietà ed essa non è detto che si embeddi in $RR^2$, infatti la curva potrebbe non essere contenuta in un piano, ma sarà sicuramente contenuta in $RR^(2n+1)$, ossia in $RR^3$.
Torniamo ora, dopo questa digressione, al tuo caso della sfera...è vero che la sfera è una sottovarietà di $RR^3$ (come dice giustamente"j18eos"), ma non lo è se la si parametrizza con una sola carta, perchè non esiste una una carta che sia embedding, altrimenti come ti dicevo sarebbe la sfera omeomorfa ad $RR^2$. Dire che la sfera è una sottovarietà significa che esisterà almeno un atlante tale che le carte siano degli embedding....stessa cosa è giustissimo quello che dice "dissonance", ossia anche la circonferenza è un classico caso di sottovarietà di $RR^2$, solo che come la sfera, anche per essa non esiste una carta sola che sia un embedding che la parametrizzi.
Spero di essermi spiegato bene, magari qualcuno vorrà aggiungere qualcosa!
"Alexp":
...è vero che la sfera è una sottovarietà di $RR^3$ (come dice giustamente"j18eos")...
Non credo di averlo affermato implicitamente (od esplicitamente) visto che non ho studiato le varietà topologiche (non ancora) e\o differenziabili (chissà quando); ci pongo la fiducia, ho solo affermato esplicitamente che la sfera [tex]S[/tex] è un sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] e nulla di più.
Si "j18eos", hai ragione tu non hai detto che la sfera $S$ è una sottovarietà di $RR^3$, mi sono fatto fuorviare da quello che ha scritto "tinam73":
"tinam73":
[...] come può j18eos dire che la sfera è una sottovarietà di $RR^3$? [...]
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