Funtore $\pi_0$
Siano $Top$ e $Set$ le categorie degli spazi topologici e degli insiemi, e si consideri il funtore $\pi_0$ tra di esse, con la convenzione che $\pi_0(∅) = ∅$.
Determinare se il funtore $\pi_0$ sia Pieno, Fedele o Essenzialmente suriettivo.
Sicuramente non è fedele dato che se prendo due funzioni continue $f,g$ da $RR$ in $RR$ diverse tra loro siccome $RR$ è convesso allora $f$ è omotopa a $g$ e quindi $\pi_0(f)=\pi_0(g)$. Mentre è essenzialmente surriettivo perchè preso $X$ un insieme in $Set$ allora $pi_0($ $(X,tau_D))$ è isomorfo a $X$ (in quanto uno spazio topologico con topologia discreta è totalmente disconnesso, ovvero le componenti connesse per archi sono tutti e soli i punti), però non so se ho detto bene che non è pieno: prendo lo spazio topologico $X={0}uu{1/n|ninNN,n!=0}$ munito della topologia indotta dalla euclidea, considero in $Set$ il morfismo $g:pi_0(X)->pi_0(X)$ che manda ${0}->{1}$ e ${1/n}->{1/(n+1)}$, non può esistere una $f$ continua da $X$ a $X$ (quindi un morfismo in $Top$) tale che $0$ viene mandato in $1$ poiche ${1}$ è aperto mentre ${0}$ non è aperto.
Va bene?
Determinare se il funtore $\pi_0$ sia Pieno, Fedele o Essenzialmente suriettivo.
Sicuramente non è fedele dato che se prendo due funzioni continue $f,g$ da $RR$ in $RR$ diverse tra loro siccome $RR$ è convesso allora $f$ è omotopa a $g$ e quindi $\pi_0(f)=\pi_0(g)$. Mentre è essenzialmente surriettivo perchè preso $X$ un insieme in $Set$ allora $pi_0($ $(X,tau_D))$ è isomorfo a $X$ (in quanto uno spazio topologico con topologia discreta è totalmente disconnesso, ovvero le componenti connesse per archi sono tutti e soli i punti), però non so se ho detto bene che non è pieno: prendo lo spazio topologico $X={0}uu{1/n|ninNN,n!=0}$ munito della topologia indotta dalla euclidea, considero in $Set$ il morfismo $g:pi_0(X)->pi_0(X)$ che manda ${0}->{1}$ e ${1/n}->{1/(n+1)}$, non può esistere una $f$ continua da $X$ a $X$ (quindi un morfismo in $Top$) tale che $0$ viene mandato in $1$ poiche ${1}$ è aperto mentre ${0}$ non è aperto.
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