Funtore Ext e Hom
Buon pomeriggio! Ho un dubbio che non riesco a risolvere.
Se considero una varietà proiettiva liscia di dimensione $n$ ed indico con $\omega_X$ il suo fascio canonico, perché $Ext^n (\mathcal{O}_X, \omega_X) \cong Hom(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)^{\vee}$?
Ho capito che devo usare la dualità di Serre, ma perché il fascio canonico si "confonde" col fascio strutturale?
Se considero una varietà proiettiva liscia di dimensione $n$ ed indico con $\omega_X$ il suo fascio canonico, perché $Ext^n (\mathcal{O}_X, \omega_X) \cong Hom(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)^{\vee}$?
Ho capito che devo usare la dualità di Serre, ma perché il fascio canonico si "confonde" col fascio strutturale?
Risposte
Eh, sì: quell'isomorfismo segue dalla dualità di Serre per i fasci coerenti su \(\displaystyle X\) soddisfacente le ipotesi che tu hai richiamato.
Però, applicando "precisamente" la dualità di Serre, io avrei: $Ext^n(\mathcal{O}_X, \omega_X) \cong Ext^{n-n}(\omega_X, \mathcal{O}_X \otimes \omega_X)^\vee = Hom(\omega_X, \mathcal{O}_X \otimes \omega_X)^\vee$.
Come giungo a $Hom(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)^\vee$?
Come giungo a $Hom(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X)^\vee$?
Basta utilizzare questa forma qui:
\[
\mathcal{Ext}_X^n(\mathcal{O}_X,\omega_X)\cong\mathcal{H}^{n-n}(X,\mathcal{O}_X)^{\vee}=\mathcal{H}^0(X,\mathcal{O}_X)^{\vee}\cong\mathcal{Hom}_X(\mathcal{O}_X,\mathcal{O}_X)^{\vee}.
\]
Ti torna tutto?
\[
\mathcal{Ext}_X^n(\mathcal{O}_X,\omega_X)\cong\mathcal{H}^{n-n}(X,\mathcal{O}_X)^{\vee}=\mathcal{H}^0(X,\mathcal{O}_X)^{\vee}\cong\mathcal{Hom}_X(\mathcal{O}_X,\mathcal{O}_X)^{\vee}.
\]
Ti torna tutto?
Non conosco la prima relazione adoperata (tra $Ext$ e $\mathcal{H}$)... da dove deriva?
Quella è la forma della dualità di Serre adoperata nel contesto delle categorie abeliane;
in rete trovi la dimostrazione (mediante il lemma di Yoneda).
in rete trovi la dimostrazione (mediante il lemma di Yoneda).
Scusami se riapro questo post. Ho potuto riprendere l'argomento solo ora.
Ho ritrovato la formula di Serre per la prima equivalenza. Ora invece non riesco a capire l'ultimo isomorfismo da dove derivi.
Questa è la prima volta che sfrutto tale teoria, quindi non riesco ancora ad utilizzarla appieno...
Ho ritrovato la formula di Serre per la prima equivalenza. Ora invece non riesco a capire l'ultimo isomorfismo da dove derivi.
Questa è la prima volta che sfrutto tale teoria, quindi non riesco ancora ad utilizzarla appieno...
Se ti riferisci a \({\cal H}^0(X, {\cal O}_X)\cong{\cal H}om({\cal O}_X,{\cal O}_X)\) è la definizione di cos'è $H^0$ in una categoria di fasci
Io so che $H^0(X, \mathcal{O}_X) = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$...
Sì, ma io ho scritto \(\displaystyle\mathcal{H}^{\bullet}\) e non \(\displaystyle H^{\bullet}\): conosci la differenza?
Purtroppo no... qual è? Mi puoi dare qualche indicazione/riferimento?
Ad esempio \(\mathcal{Hom}(\_,\_)\) è un Hom-sheaf... mai letto?
Intendi il fascio che ad $U$ aperto di $X$ associa $Hom(\mathcal{F}_{|U}, \mathcal{G}_{|U})$?
Sì, proprio quello! 
Solo che non l'ho mai usato, né incontrato nella dualità di Serre o in quell'isomorfismo da te indicato... 
Scusa: ma hai consultato qualche testo consigliato? Dove si fermano le tue conoscenze?
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