Formule di frenet
ciao a tutti!
Mi sarebbe di grande aiuto risolvere questo problema relativo alle formule di frenet:
ho capito che i vettori di frenet (t,n,b) costituiscono una terna ortonormale,tuttavia non capisco o comunque non ho un quadro esaustivo sulle direzioni dei vettori dati dalle loro rispettive derivate.
Da varie formule ho capito che db/ds e dt/ds hanno la stessa direzione (quella del vettore n)e sono perpendicolari a dn/ds;quest'ultimo invece è perpendicolare ai primi due ma sembra non avere una direzione precisa,se non una direzione generica nel piano formato dai vettori b e t...
ora il mio problema è capire se sono arrivato a delle conclusioni giuste,se dn/ds abbia una direzione precisa ma soprattutto se sia o meno utile(e per quale motivo) voler visualizzare questi "vettori derivati".
Grazie a chiunque possa aiutarmi!
Risposte
Dunque le formule di Frenet sono...
${(ul(dott)=kuln),(ul(dotb)=-tauuln),(ul(dotn)=-kult+tauulb):}
dove $k$ è la curvatura scalare e $tau$ la torsione.
Il punto indica la derivata rispetto al parametro arco, cioè $s$.
Dalle equazioni si legge che: 1) $ul(dott)$ è parallelo a $uln$, infatti
non è altro che $uln$ moltiplicato per uno scalare non negativo; 2) $ul(dotb)$ è
antiparallelo ad $uln$, per via del coefficiente scalare $tau$, cioè
la torsione (che è non negativa), e del segno meno; 3) $ul(dotn)$ si trova nel piano individuato
dai versori $ult$ ed $ulb$, e quindi è perpendicolare a $uln$.
${(ul(dott)=kuln),(ul(dotb)=-tauuln),(ul(dotn)=-kult+tauulb):}
dove $k$ è la curvatura scalare e $tau$ la torsione.
Il punto indica la derivata rispetto al parametro arco, cioè $s$.
Dalle equazioni si legge che: 1) $ul(dott)$ è parallelo a $uln$, infatti
non è altro che $uln$ moltiplicato per uno scalare non negativo; 2) $ul(dotb)$ è
antiparallelo ad $uln$, per via del coefficiente scalare $tau$, cioè
la torsione (che è non negativa), e del segno meno; 3) $ul(dotn)$ si trova nel piano individuato
dai versori $ult$ ed $ulb$, e quindi è perpendicolare a $uln$.
grazie,fireball!
quindi,precisazione del verso a parte,è come pensavo!...
a questo punto,la domanda è: dn/ds ha una direzione "precisa" o varia semplicemente a seconda dei casi in quel piano?!e ancora,cosa rappresentano le derivate di questi vettori?
quindi,precisazione del verso a parte,è come pensavo!...
a questo punto,la domanda è: dn/ds ha una direzione "precisa" o varia semplicemente a seconda dei casi in quel piano?!e ancora,cosa rappresentano le derivate di questi vettori?
"geminis":
a questo punto,la domanda è: dn/ds ha una direzione "precisa" o varia semplicemente a seconda dei casi in quel piano?!e ancora,cosa rappresentano le derivate di questi vettori?
Mi ero perso questa domanda... Se hai una curva qualsiasi in $RR^3$,
di classe $C^oo$, allora in ogni punto la curvatura sarà diversa, così come la torsione...
Quindi $uldotn$ non avrà mai una direzione "precisa" nel piano dei vettori $ult$ e $ulb$...
Se invece hai una retta, allora la curvatura scalare è identicamente nulla e quindi
$ul(dotn)$ sarà parallelo a $ulb$ per via del coefficiente $tau$. Se hai una curva
piana, quindi con torsione identicamente nulla, chiaramente $ul(dotn)$ sarà antiparallelo a $ult$.
grazie mille! 
Ciao a tutti, a questo punto mi assale un dubbio terribile.
Mi aspetterei infatti che durante il "moto" del riferimento di Frenet lungo la curva, i versori si mantenessero ortogonali.
Se quindi considero i versori nel punto $ s+ds $ , posso dire che:
$ vec(t) (s+ds)=vec(t) (s)+dvec(t) (s) $
$ vec(n) (s+ds)=vec(n) (s)+dvec(n) (s) $
$ vec(b) (s+ds)=vec(b) (s)+dvec(b) (s) $
con:
$ vec(t) (s)=(1,0,0) $
$ vec(n) (s)=(0,1,0) $
$ vec(b) (s)=(0,0,1) $
e
$ dvec(t) (s)=k(s)ds\cdotvec(n) $
$ dvec(n) (s)=-k(s)ds\cdot vec(t) +tau (s)ds\cdotvec(b) $
$ dvec(b) (s)=-tau (s)ds\cdotvec(n) $
di conseguenza:
$ vec(t) (s+ds)=vec(t)+k(s)ds\cdotvec(n) $
$ vec(n) (s+ds)=-k(s)ds\cdot vec(t) +vec(n)+tau (s)ds\cdotvec(b) $
$ vec(b) (s+ds)=-tau (s)ds\cdotvec(n) +vec(b)$
A questo punto vado a verificare l'ortogonalita della terna in $s+ds$ calcolando i seguenti prodotti scalari:
$ vec(t)(s+ds)\cdot vec(n)(s+ds)=0rArr vec(t)(s+ds)_|_ vec(n)(s+ds) $
$ vec(b)(s+ds)\cdot vec(n)(s+ds)=0rArr vec(b)(s+ds)_|_ vec(n)(s+ds) $
ma
$ vec(b)(s+ds)\cdot vec(t)(s+ds)!= 0 $
Quindi i due versori sopra indicati non sono perpendicolari!
Ne deduco che durante i suo moto lungo la curva la terna si è deformata???
Dove sbaglio?
Mi aspetterei infatti che durante il "moto" del riferimento di Frenet lungo la curva, i versori si mantenessero ortogonali.
Se quindi considero i versori nel punto $ s+ds $ , posso dire che:
$ vec(t) (s+ds)=vec(t) (s)+dvec(t) (s) $
$ vec(n) (s+ds)=vec(n) (s)+dvec(n) (s) $
$ vec(b) (s+ds)=vec(b) (s)+dvec(b) (s) $
con:
$ vec(t) (s)=(1,0,0) $
$ vec(n) (s)=(0,1,0) $
$ vec(b) (s)=(0,0,1) $
e
$ dvec(t) (s)=k(s)ds\cdotvec(n) $
$ dvec(n) (s)=-k(s)ds\cdot vec(t) +tau (s)ds\cdotvec(b) $
$ dvec(b) (s)=-tau (s)ds\cdotvec(n) $
di conseguenza:
$ vec(t) (s+ds)=vec(t)+k(s)ds\cdotvec(n) $
$ vec(n) (s+ds)=-k(s)ds\cdot vec(t) +vec(n)+tau (s)ds\cdotvec(b) $
$ vec(b) (s+ds)=-tau (s)ds\cdotvec(n) +vec(b)$
A questo punto vado a verificare l'ortogonalita della terna in $s+ds$ calcolando i seguenti prodotti scalari:
$ vec(t)(s+ds)\cdot vec(n)(s+ds)=0rArr vec(t)(s+ds)_|_ vec(n)(s+ds) $
$ vec(b)(s+ds)\cdot vec(n)(s+ds)=0rArr vec(b)(s+ds)_|_ vec(n)(s+ds) $
ma
$ vec(b)(s+ds)\cdot vec(t)(s+ds)!= 0 $
Quindi i due versori sopra indicati non sono perpendicolari!
Ne deduco che durante i suo moto lungo la curva la terna si è deformata???
Dove sbaglio?
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