Formule di cambiamento delle coordinate
ciao a tutti,
probabilmente nessuno è intervenuto per la (probabile) poca chiarezza del post che avevo creato simile a questo.
allora provo a postare un esercizio molto simile, con la relativa soluzione data dal professore, in cui l'unica cosa di cui ho bisogno è capire perchè fa determinati passaggi per la risoluzione...
fissato nel piano affine usuale $E^2$ un riferimento affine RA(O x y), sia RA(O' x' y') il riferimento affine di $E^2$ definito dalle condizioni:
- l'asse x' è la retta di equazione x + y -2 = 0
- l'asse y' passa per A(0,1) ed è parallelo alla retta x - 2y +7 =0;
- la retta x' + y' = 1 ha equazione x - 5y + 5= 0 . Scrivere le formule del cambiamento delle coordinate.
il professore risolve dicendo...
poichè l'asse y' ha equazione x- 2y +2=0, le formule della trasformazione delle coordinate sono
$\{(x' = a(x- 2y + 2)),(y' = b(x+ y - 2)):}$ ( con quale criterio scrive queste formule?)
dove a,b sono numeri reale che determineremo tenendo presente che la retta x'+y'=1 ha equazione x-5y+5=0.
Usando le formule del sistema sopra dato si ottine per la retta x'+y'=1 la equazione (a+b)x + (b-2a)y +2a-2b-1= 0 (tramite quale algoritmo arriva a ciò?) : questa equazione e x - 5y +5= 0 sono dunque le equazioni cartesiane della retta x'+y'=1 rispetto al RA(O x y). Ne deriva a=2, b=-1, e quindi sono determinate le formule del cambiamento delle coordinate sopra scritte.
sarei grato di un eventuale aiuto...
saluti al forum
probabilmente nessuno è intervenuto per la (probabile) poca chiarezza del post che avevo creato simile a questo.
allora provo a postare un esercizio molto simile, con la relativa soluzione data dal professore, in cui l'unica cosa di cui ho bisogno è capire perchè fa determinati passaggi per la risoluzione...
fissato nel piano affine usuale $E^2$ un riferimento affine RA(O x y), sia RA(O' x' y') il riferimento affine di $E^2$ definito dalle condizioni:
- l'asse x' è la retta di equazione x + y -2 = 0
- l'asse y' passa per A(0,1) ed è parallelo alla retta x - 2y +7 =0;
- la retta x' + y' = 1 ha equazione x - 5y + 5= 0 . Scrivere le formule del cambiamento delle coordinate.
il professore risolve dicendo...
poichè l'asse y' ha equazione x- 2y +2=0, le formule della trasformazione delle coordinate sono
$\{(x' = a(x- 2y + 2)),(y' = b(x+ y - 2)):}$ ( con quale criterio scrive queste formule?)
dove a,b sono numeri reale che determineremo tenendo presente che la retta x'+y'=1 ha equazione x-5y+5=0.
Usando le formule del sistema sopra dato si ottine per la retta x'+y'=1 la equazione (a+b)x + (b-2a)y +2a-2b-1= 0 (tramite quale algoritmo arriva a ciò?) : questa equazione e x - 5y +5= 0 sono dunque le equazioni cartesiane della retta x'+y'=1 rispetto al RA(O x y). Ne deriva a=2, b=-1, e quindi sono determinate le formule del cambiamento delle coordinate sopra scritte.
sarei grato di un eventuale aiuto...
saluti al forum
Risposte
Il criterio con cui scrive le formule è presto detto: se conosci le equazioni degli assi \(x', y'\), diciamo che esse siano
\[ax+by+c=0,\qquad \alpha x+\beta y + \gamma=0;\]
allora le equazioni di cambiamento di coordinate sono
\[\begin{cases} x'=\text{costante1}(\alpha x+\beta y + \gamma) \\ y'=\text{costante2}(ax+by+c)\end{cases}.\]
Pensaci un attimo. L'asse delle \(x'\) è il luogo dei punti su cui la coordinata \(y'\) si annulla, quindi nel sistema di coordinate \(x', y'\) esso ha equazione \(y'=0\). Invece nel sistema di coordinate \(x, y\) ha equazione \(ax+by+c=0\) e da qui ricaviamo la seconda equazione di cambiamento di coordinate. Nota che ti rimane sempre una costante moltiplicativa, il che è chiaro perché hai due equazioni omogenee che possono essere moltiplicate per costanti restando sempre uguali.
Il resto è più facile: il prof somma le due equazioni e fa qualche conto che non mi pare particolarmente strano.
\[ax+by+c=0,\qquad \alpha x+\beta y + \gamma=0;\]
allora le equazioni di cambiamento di coordinate sono
\[\begin{cases} x'=\text{costante1}(\alpha x+\beta y + \gamma) \\ y'=\text{costante2}(ax+by+c)\end{cases}.\]
Pensaci un attimo. L'asse delle \(x'\) è il luogo dei punti su cui la coordinata \(y'\) si annulla, quindi nel sistema di coordinate \(x', y'\) esso ha equazione \(y'=0\). Invece nel sistema di coordinate \(x, y\) ha equazione \(ax+by+c=0\) e da qui ricaviamo la seconda equazione di cambiamento di coordinate. Nota che ti rimane sempre una costante moltiplicativa, il che è chiaro perché hai due equazioni omogenee che possono essere moltiplicate per costanti restando sempre uguali.
Il resto è più facile: il prof somma le due equazioni e fa qualche conto che non mi pare particolarmente strano.
il ragionamento sul sistema di coordinate x,y e x',y' è di pregevole chiarezza... e con tutta sincerità non ci sarei mai arrivato da solo. L'esercizio mi è riuscito, e ti ringrazio; ma la cosa che più mi interessa è stato capire effettivamente il porcedimento. MI diletterò in qualche altro esercizio, e se avrò difficoltà lo posterò sul forum.
grazie a te, grazie al forum.
grazie a te, grazie al forum.
Prego. Anzi, grazie a te: anche io non avevo mai usato questa tecnica negli esercizi e da questa discussione ho imparato qualcosa di nuovo. Effettivamente è un procedimento ingegnoso.
figurati.. 
Altro dubbio.
Fissato nel piano usuale $E^2$ un riferimento affne $RA(O x y)$, sia $ RA(O x' y')$ il riferimento definito dalle condizioni:
- l'asse $x' $è la retta $ x-y+2= 0$ ed è orientato come le $y < 0$;
- l'asse $ y'$ passa per$ A(1,2)$;
- i riferimenti sono inversamente congruenti
scrivere le formule del cambiamento delle coordinate.
il prof risolve dicendo...
l'asse $ y' $ ortogonale per$ A(1,2)$ all'asse $ x' $ ha equazione $ x+ y -3=0$; il punto $ O' $ comune alle rette $x-y+2=0$ e $x+y-3=0$ ha coordinate $ O'(1/2 , 5/2) $; il punto $U1'$ di ordinata $ y(U1') < y(O') = 5/2 $ nel quale si incontrano la retta $ x-y+2=0 $ e la circonferenza $ (x - 1/2 )^2 + (y - 5/2)^2 = 1$ ha coordinate $x=(1- sqrt(2))/(2)$ , $ y=(5- sqrt(2))/(2)$
. pertanto le formule del cambiamento di coordinate sono
$\{(x' = -sqrt(2)/2(x+y-3)),(y'=- sqrt(2)/2(x-y+2)):}$
è tutto chiaro fino alla prima parte. Poi non capisco cosa fa quando fa incontrare la retta e la circonferenza, e per quale motivo lo faccia...... nn capisco..
me la dai una mano?
Altro dubbio.
Fissato nel piano usuale $E^2$ un riferimento affne $RA(O x y)$, sia $ RA(O x' y')$ il riferimento definito dalle condizioni:
- l'asse $x' $è la retta $ x-y+2= 0$ ed è orientato come le $y < 0$;
- l'asse $ y'$ passa per$ A(1,2)$;
- i riferimenti sono inversamente congruenti
scrivere le formule del cambiamento delle coordinate.
il prof risolve dicendo...
l'asse $ y' $ ortogonale per$ A(1,2)$ all'asse $ x' $ ha equazione $ x+ y -3=0$; il punto $ O' $ comune alle rette $x-y+2=0$ e $x+y-3=0$ ha coordinate $ O'(1/2 , 5/2) $; il punto $U1'$ di ordinata $ y(U1') < y(O') = 5/2 $ nel quale si incontrano la retta $ x-y+2=0 $ e la circonferenza $ (x - 1/2 )^2 + (y - 5/2)^2 = 1$ ha coordinate $x=(1- sqrt(2))/(2)$ , $ y=(5- sqrt(2))/(2)$
. pertanto le formule del cambiamento di coordinate sono
$\{(x' = -sqrt(2)/2(x+y-3)),(y'=- sqrt(2)/2(x-y+2)):}$
è tutto chiaro fino alla prima parte. Poi non capisco cosa fa quando fa incontrare la retta e la circonferenza, e per quale motivo lo faccia...... nn capisco..
me la dai una mano?
in sostanza dopo che ha trovato le coordinate $ x= (1-sqrt(2))/2 $ e $ y = (5-sqrt(2))/2 $ è come se le avesse sostituite alle costanti delle formule del cambiamento di base però sottratte di $1/2$ e $5/2$ rispettivamente, che sono le coordinate di O'. Però concettualmente non mi sipego cosa sta facendo...
E' interessante, più tardi me lo guardo. Purtroppo non posso farlo subito perché ho da fare.
ok con comodo. L'esame è il 20 
scusa dissonance, sei riuscito ad arrivare ad una qualche soluzione?
Senti, più o meno si: lui è arrivato alla formula
\[\begin{cases} x'=\text{costante1}(\alpha x+\beta y + \gamma) \\ y'=\text{costante2}(ax+by+c)\end{cases}.\]
imponendo, al solito, che l'asse delle \(x'\) e l'asse delle \(y'\) siano quelli che vedi, e gli restano da determinare le costanti. A questo scopo deve imporre che \(x'\) sia diretto nel verso decrescente delle \(y\) e che i sistemi di riferimento siano inversamente congruenti, fatti che ricava usando quella tecnica della circonferenza.
Purtroppo però non sono in grado di scendere maggiormente nel dettaglio, anche io sto preparando un esame e non riesco a trovare il tempo di vedermi questo esercizio con calma.
\[\begin{cases} x'=\text{costante1}(\alpha x+\beta y + \gamma) \\ y'=\text{costante2}(ax+by+c)\end{cases}.\]
imponendo, al solito, che l'asse delle \(x'\) e l'asse delle \(y'\) siano quelli che vedi, e gli restano da determinare le costanti. A questo scopo deve imporre che \(x'\) sia diretto nel verso decrescente delle \(y\) e che i sistemi di riferimento siano inversamente congruenti, fatti che ricava usando quella tecnica della circonferenza.
Purtroppo però non sono in grado di scendere maggiormente nel dettaglio, anche io sto preparando un esame e non riesco a trovare il tempo di vedermi questo esercizio con calma.
grazie lo stesso!! in bocca al lupo per l'esame! 
In bocca al lupo anche a te per l'esame di domani. Quando le acque si saranno calmate spero riparleremo di questo esercizio.
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