Formule cambiamento coordinate
Ciao ragazzi volevo una mano su questo esercizio
Siano RC(O,U1,U2) e RC(O1',U1',U2') riferimenti cartesiani ortonormali e isometrici del piano affine euclideo E^2 e
17x' = 15x + 8y + 17
17y' = 8x -15y -34
le formule del cambiamento delle coordinate nel passaggio dal riferimento RC(O,U1,U2) al riferimento RC(O1',U1',U2').
Determinare le coordinate dei punti O',U1',U2' rispetto al riferimento RC(O,U1,U2).
Io ragazzi so come si risolvono gli esercizi in cui bisogna trovare le formule del cambiamento delle coordinate.
qui la situazione è inversa nel senso che io le coordinate già le ho.
come posso trovare le coordinate dei punti O',U1',U2' rispetto al riferimento RC(O,U1,U2)?
Devo forse trovare le inverse?
Siano RC(O,U1,U2) e RC(O1',U1',U2') riferimenti cartesiani ortonormali e isometrici del piano affine euclideo E^2 e
17x' = 15x + 8y + 17
17y' = 8x -15y -34
le formule del cambiamento delle coordinate nel passaggio dal riferimento RC(O,U1,U2) al riferimento RC(O1',U1',U2').
Determinare le coordinate dei punti O',U1',U2' rispetto al riferimento RC(O,U1,U2).
Io ragazzi so come si risolvono gli esercizi in cui bisogna trovare le formule del cambiamento delle coordinate.
qui la situazione è inversa nel senso che io le coordinate già le ho.
come posso trovare le coordinate dei punti O',U1',U2' rispetto al riferimento RC(O,U1,U2)?
Devo forse trovare le inverse?
Risposte
Sì trova la trasformazione inversa. Ricombina il tuo sistema di cambiamento di coordinate in modo da avere una cosa del tipo:
$x=$(roba in $x',y'$)
$y=$(roba in $x',y'$)
e calcola le nuove coordinate dei tuoi punti.
Paola
$x=$(roba in $x',y'$)
$y=$(roba in $x',y'$)
e calcola le nuove coordinate dei tuoi punti.
Paola
"prime_number":
Sì trova la trasformazione inversa. Ricombina il tuo sistema di cambiamento di coordinate in modo da avere una cosa del tipo:
$x=$(roba in $x',y'$)
$y=$(roba in $x',y'$)
e calcola le nuove coordinate dei tuoi punti.
Paola
le inverse sono:
x = (15/17)x' + (8/17)y' +k
y = (8/17)x' + (-15/17)y' + p
dove k e p dovrebbero essere le coordinate del centro nel vecchio riferimento(si trova forse intersecando x e y?)
da queste formule come posso ricondurmi a ciò che cerco?
Considera che la trasformazione del primo post è la composizione di una dilatazione e di una traslazione (con il vettore $v=(1,-2)$... perciò l'inversa sarà la composizione tra la traslazione inversa (cioè di $-v$) e della dilatazione che hai già trovato.
Hai già $k$ e $p$ in soldoni.
Paola
Hai già $k$ e $p$ in soldoni.
Paola
non riesco a capire.potresti dirmi a quanto equivalgono k e p?
(-1,2).
Ci sono arrivata così: dividi le equazioni del primo post per $17$ e trovi che la trasformazione altri non è che
$((x'),(y'))=((15/17,8/17),(8/17,-15/17))((x),(y)) + ((1),(-2))$ ovvero la composizione della rotazione (ho detto dilatazione prima ma mi sono sbagliata) definita dalla matrice $((15/17,8/17),(8/17,-15/17))$ con la traslazione rispetto al vettore $((1),(-2))$. Ora, intuitivamente (immagina la scena nella tua testa) capirai che è indifferente ruotare e poi traslare oppure traslare e poi ruotare, cioè le due trasformazioni si possono anche invertire d'ordine. Con i tuoi calcoli dovresti aver già trovato l'inverso della rotazione, visto il tuo secondo post. Ti manca quindi l'inverso della traslazione... ma l'inverso di una traslazione rispetto ad un vettore $v$ è semplicemente un'altra traslazione rispetto al vettore $-v$, cioè prima andavi nella direzione $v$ ora "torni indietro" nella direzione $-v$.
Paola
Ci sono arrivata così: dividi le equazioni del primo post per $17$ e trovi che la trasformazione altri non è che
$((x'),(y'))=((15/17,8/17),(8/17,-15/17))((x),(y)) + ((1),(-2))$ ovvero la composizione della rotazione (ho detto dilatazione prima ma mi sono sbagliata) definita dalla matrice $((15/17,8/17),(8/17,-15/17))$ con la traslazione rispetto al vettore $((1),(-2))$. Ora, intuitivamente (immagina la scena nella tua testa) capirai che è indifferente ruotare e poi traslare oppure traslare e poi ruotare, cioè le due trasformazioni si possono anche invertire d'ordine. Con i tuoi calcoli dovresti aver già trovato l'inverso della rotazione, visto il tuo secondo post. Ti manca quindi l'inverso della traslazione... ma l'inverso di una traslazione rispetto ad un vettore $v$ è semplicemente un'altra traslazione rispetto al vettore $-v$, cioè prima andavi nella direzione $v$ ora "torni indietro" nella direzione $-v$.
Paola
e U1 e U2 quindi quali sono?
Nella tua notazione rappresentano gli assi cartesiani? I loro versori?
(Comunque hai le formule della trasformazione, qualunque cosa tu voglia basta che ci schiaffi dentro $U_1', U_2'$ e vedi cosa esce)
Paola
(Comunque hai le formule della trasformazione, qualunque cosa tu voglia basta che ci schiaffi dentro $U_1', U_2'$ e vedi cosa esce)
Paola
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