Formula per il genere di una curva proiettiva liscia
Salve ragazzi!
Stavo cercando una dimostrazione della formula che permette di calcolare il genere di una curva proiettiva liscia di grado $d $:
$$g = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$$
Che non faccia uso di triangolazioni o divisori. Dopo aver cercato un po' ho trovato questo file
http://alpha.math.uga.edu/~roy/rrt.pdf
scritto dal professor Roy Smith. La dimostrazione procede per induzione.
Nel passo induttivo trovo scritto:
Sia $X$ una curva proiettiva liscia di grado $d \geq 3$. Facciamola degenerare in curva proiettiva liscia $Y$ di grado $d-1$ e una retta che interseca $Y $ in $d-1$ punti distinti.
Ho cercato di dimostrare la veridicità di questa affermazione, ma non ci sono riuscito.
Qualcuno potrebbe darmi un aiuto per approcciare il problema? Grazie
La dimostrazione di cui parlo si trova a pagina 41 del file di cui ho messo il link!
Stavo cercando una dimostrazione della formula che permette di calcolare il genere di una curva proiettiva liscia di grado $d $:
$$g = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$$
Che non faccia uso di triangolazioni o divisori. Dopo aver cercato un po' ho trovato questo file
http://alpha.math.uga.edu/~roy/rrt.pdf
scritto dal professor Roy Smith. La dimostrazione procede per induzione.
Nel passo induttivo trovo scritto:
Sia $X$ una curva proiettiva liscia di grado $d \geq 3$. Facciamola degenerare in curva proiettiva liscia $Y$ di grado $d-1$ e una retta che interseca $Y $ in $d-1$ punti distinti.
Ho cercato di dimostrare la veridicità di questa affermazione, ma non ci sono riuscito.
Qualcuno potrebbe darmi un aiuto per approcciare il problema? Grazie
La dimostrazione di cui parlo si trova a pagina 41 del file di cui ho messo il link!
Risposte
Qual è la definizione di genere che usi?
Inoltre, in quello scritto l'auto suppone che la curva degeneri come descritto; e non che ogni curva è degenerabile in quella maniera.
Inoltre, in quello scritto l'auto suppone che la curva degeneri come descritto; e non che ogni curva è degenerabile in quella maniera.
Uso quello topologica: il numero intero $g$ per cui la curva (vista come superficie) è omeomorfa a $S_{g}$.
Tornando alla dimostrazione: se lui suppone che succeda una cosa del genere come fa a fare la dimostrazione nel caso generale? Non è restrittivo supporre che la curva degeneri in quel modo?
Tornando alla dimostrazione: se lui suppone che succeda una cosa del genere come fa a fare la dimostrazione nel caso generale? Non è restrittivo supporre che la curva degeneri in quel modo?
Torna indietro utilizzando i sistemi lineari, che (per come li conosco io) sono definiti mediante i divisori...
Una domanda: perché non vuoi usare i divisori?
Una domanda: perché non vuoi usare i divisori?
Non è che non voglia usare i divisori, mi sono espresso male. Le dimostrazioni di cui ho sentito parlare di questa formula fanno uso del fatto che il grado di un divisore su una curva proiettiva liscia è $2g-2$ ed è questo ciò che non vorrei usare.
Secondo me, ma è un po' lunga la cosa: potresti consultare le dispense del dott. Cailotto sulle curve algebriche piane e sulle superfici di Riemann compatte.
Il percorso è più lungo ma meno arzigogolato e più intuitivo.
Il percorso è più lungo ma meno arzigogolato e più intuitivo.
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