Formula per calcolo dell'area del settore parabolico
Ciao a tutti, volevo chiarire un dubbio,se la parabola ha l'asse di simmetria parallelo a y ossia $y=ax^2+bx+c$ allora l'area del settore parabolico si calcola con la formula $A=|a|/6(x1-x2)^3$ dove $x1$ e $x2$ sono le ascisse di intersezione con la parabola
e se invece la parabola è del tipo $x=ay^2+by+c$ come diventa la formula???grazie
e se invece la parabola è del tipo $x=ay^2+by+c$ come diventa la formula???grazie
Risposte
Innanzitutto, elimina il titolo maiuscolo (cfr. regolamento, 3.5).
Poi, evidentemente la tua formula funziona solo se l'equazione della parabola si può mettere nella forma:
[tex]$y=a\ (x-x_1) (x-x_2)$[/tex] (con [tex]$x_1
ciò accade se e solo se la parabola interseca l'asse delle ascisse (ad esempio, [tex]$y=x^2+1$[/tex] non può essere scritta nella forma utile ad applicare la tua formula).
In tal caso la formula [tex]$A=\frac{a}{6}\ (x_1-x_2)^3$[/tex] fornisce l'area (negativa!) della porzione di piano limitata delimitata dalla parabola e dall'asse [tex]$x$[/tex].
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-2;ymax=4;
axes("","");
plot("x*(x-2)",-2,0); plot("x*(x-2)",2,4);
stroke="red"; line([0,0],[2,0]); plot("x*(x-2)",0,2);
text([1,-0.5],"A"); text([0,0],"x1",belowleft); text([2,0],"x2",belowright);[/asvg]
Mutatis mutandis, una formula del tipo che proponi ma nel caso di una parabola d'equazione [tex]$x=\alpha y^2+\beta y+\gamma$[/tex] ha senso se e solo se l'equazione si può mettere nella forma:
[tex]$x=\alpha\ (y-y_1)(y-y_2)$[/tex] (con [tex]$y_1
cioè se e solo se la parabola interseca l'asse delle ordinate; in tal caso la formula [tex]$A=\frac{\alpha}{6}\ (y_1-y_2)^2$[/tex] è l'analoga a quella che proponi.
[asvg]xmin=-1;xmax=4;ymin=-2;ymax=3;
axes("","");
plot("1+sqrt(1+x)",0,5); plot("1-sqrt(1+x)",0,5);
stroke="red"; line([0,0],[0,2]); plot("1+sqrt(1+x)",-1,0); plot("1-sqrt(1+x)",-1,0);
text([-0.5,1],"A"); text([0,0],"y1",aboveright); text([0,2],"y2",belowright);[/asvg]
D'altra parte, potresti fare un po' di conti per esprimere quell'area in funzione non già di [tex]$y_1,y_2$[/tex], ma delle coordinate del vertice, diciamole [tex]$(x_0,y_0)=(-\tfrac{\Delta}{4\alpha},-\tfrac{\beta}{2\alpha})$[/tex] con [tex]$\Delta =\beta^2-4\alpha\gamma$[/tex]... Viene qualcosa di non troppo complesso, ma di difficile da ricordare; quindi meglio la formula con [tex]$y_1,y_2$[/tex].
Poi, evidentemente la tua formula funziona solo se l'equazione della parabola si può mettere nella forma:
[tex]$y=a\ (x-x_1) (x-x_2)$[/tex] (con [tex]$x_1
ciò accade se e solo se la parabola interseca l'asse delle ascisse (ad esempio, [tex]$y=x^2+1$[/tex] non può essere scritta nella forma utile ad applicare la tua formula).
In tal caso la formula [tex]$A=\frac{a}{6}\ (x_1-x_2)^3$[/tex] fornisce l'area (negativa!) della porzione di piano limitata delimitata dalla parabola e dall'asse [tex]$x$[/tex].
[asvg]xmin=-2;xmax=3;ymin=-2;ymax=4;
axes("","");
plot("x*(x-2)",-2,0); plot("x*(x-2)",2,4);
stroke="red"; line([0,0],[2,0]); plot("x*(x-2)",0,2);
text([1,-0.5],"A"); text([0,0],"x1",belowleft); text([2,0],"x2",belowright);[/asvg]
Mutatis mutandis, una formula del tipo che proponi ma nel caso di una parabola d'equazione [tex]$x=\alpha y^2+\beta y+\gamma$[/tex] ha senso se e solo se l'equazione si può mettere nella forma:
[tex]$x=\alpha\ (y-y_1)(y-y_2)$[/tex] (con [tex]$y_1
cioè se e solo se la parabola interseca l'asse delle ordinate; in tal caso la formula [tex]$A=\frac{\alpha}{6}\ (y_1-y_2)^2$[/tex] è l'analoga a quella che proponi.
[asvg]xmin=-1;xmax=4;ymin=-2;ymax=3;
axes("","");
plot("1+sqrt(1+x)",0,5); plot("1-sqrt(1+x)",0,5);
stroke="red"; line([0,0],[0,2]); plot("1+sqrt(1+x)",-1,0); plot("1-sqrt(1+x)",-1,0);
text([-0.5,1],"A"); text([0,0],"y1",aboveright); text([0,2],"y2",belowright);[/asvg]
D'altra parte, potresti fare un po' di conti per esprimere quell'area in funzione non già di [tex]$y_1,y_2$[/tex], ma delle coordinate del vertice, diciamole [tex]$(x_0,y_0)=(-\tfrac{\Delta}{4\alpha},-\tfrac{\beta}{2\alpha})$[/tex] con [tex]$\Delta =\beta^2-4\alpha\gamma$[/tex]... Viene qualcosa di non troppo complesso, ma di difficile da ricordare; quindi meglio la formula con [tex]$y_1,y_2$[/tex].
Voglio dire,la formula che ho scritto prima serve solo se la parabola interseca l'asse x o y??
L'ho scritto... Leggi bene.
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