Forme Quadratiche "Algebra Lineare"

[giuppyru-votailprof]

Salve ragazzi vi posto un esercizio svolto in classe .
Lo scopo era quello di ridurre la matrice in una forma quadratica più semplice!
1) $9x^2+4xy+6y^2$ = $9x^2+2xy+2yx+6y^2$
2) $A=((9,2),(2,6))$
Calcolo gli autovalori della matrice A
3) $A-\lambdaI=((9-\lambda,2),(2,6-\lambda))$ $rArr$ $det=(9-\lambda)*(6-\lambda)-4=\lambda^2-15\lambda+50$ $rArr$ $\lambda_1=10$ $\lambda_2=5$
Calcolo gli auovettori della matrice A
4) $A-10I=((-1,2),(2,-4))*((x_1),(x_2))=((0),(0))$ $rArr$ $((-x_1+2x_2),(2x_1-4x_2))=((0),(0))$
$x_1=2x_2$ $(2x_2,x_2)$
Utilizzando lo stesso procedimento ho calcolato l'autovalore associato a $\lambda=5$ e attribuendo dei valori arbitrari a $x_2$ ho ottenuto i vettori
$V_1=(2,1)$ $V_2=(-1,2)$.Ho calcolato la matrice Q composta dai vettori colonna normalizzati di $V_1$ e $V_2$
5) $Q=(u_1,u_2)$ $rArr$ $u_1=V_1/||V_1||=(2/sqrt5,1/sqrt5)$ $u_2=V_2/||V_2||=(-1/sqrt5,2/sqrt5)$ con $||V||=sqrt(2^2+1^2)=sqrt5$
Ho ottenuto così la matrice Q $Q=((2/sqrt5,-1/sqrt5),(1/sqrt5,2/sqrt5))$ Imponendo la matrice $A=Q^TDQ$ dove$D=((10,0),(0,5))$
6) Calcoliamo $F=x^TAx=(Qx)^TD(Qx)$
7) Otteniamo come soluzione $F=x^2+6xy+y^2$

Vorrei sapere come si effettua il passaggio dal punto 6 al punto 7!

Grazie per l'attenzione!
Attendo vostra risposta!!

[giuppyru-votailprof]

ho riscontrato un errore come mi avete suggerito...le formule giuste sono : $A=QDQ^T$ e $D=Q^TAQ$
ma anche utilizzando queste formule non capisco come riesco ad ottenere la forma quadratica ridotta $F=x^2+6xy+y^2$

grazie in anticipo
attendo vostra risposta!

[giuppyru-votailprof]

Cortesemente qualcuno sa chiarirmi questo dubbio???
grazie per l'attenzione