Forme quadratiche e la loro classificazione

[angus89]

Posto un esercizio risolto, dato che non ci siamo soffermati molto sull'argomento a lezione sono pieno di dubbi...

Premessa 1
Una forma quadratica è un polinomio di $n$ variabili di secondo grado a coefficienti in $RR$, quindi siamo in $RR[x_1, ... , x_n]$
Equivalentemente possiamo scrivere questo polinomio come

$Q(X)=x^t *A*X + 2^t*B*X+c$

Dove $X=(x_1,...,x_n)$
$2^t=(2,...,2)$
E $A$ è un'opportuna matrice simmetrica.


Premessa 2
Classificare isometricamente una forma quadratica vuol dire far agire il gruppo delle isometrie sulle forme quadratiche, ovvero consideriamo equivalenti due forme quadratiche $Q(X)$ e $H(X)$ se esiste un'isometria $f$ tale che $Q(X)=H(f(X))$

Classificare affinemente una forma quadratica vuol dire far agire il gruppo delle affinità sulle forme quadratiche, ovvero consideriamo equivalenti due forme quadratiche $Q(X)$ e $H(X)$ se esiste un'affinità $f$ tale che $Q(X)=H(f(X))$


Esercizio
Determinare se la forma quadratica seguente ha un centro di simmetria, in tal caso determinarlo e classificare la curva affinemente e isometricamente.

$Q(x,y,z)=(x,y,z)*((1,2,1),(2,6,2),(1,2,1))((x),(y),(z))+(2,2,2)*((3,0,0),(0,6,0),(0,0,3))*((x),(y),(z))+7$

Vi risparmio i conti (mi interessa sapere se il ragionamento è corretto, i conti sono corretti)

Per vedere se è a centro, posto $b=((3),(6),(3))$ (la diagonale di $B$), dobbiamo verificare che il rango di $A$ e il rango di $(A,b)$ sono uguali, ed effettivamente il rango è sempre $2$. Quindi la conica ha un centro di simmetria.
Questo centro lo si trova risolvendo il sistema $A*X=-b$ da cui si trova che i centri di simmetria sono infiniti, sono sulla retta $(t,0,-t-3)$ al variare di $t \in RR$, ad esempio scegliamo come centro di simmetria (con $t=0$) il punto $(0,0,-3)$.
Con un cambio di variabili spostiamo il centro di simmetria sull'origine e otteniamo

$Q(x,y,z)=(x,y,z)*((1,2,1),(2,6,2),(1,2,1))*((x),(y),(z))+16$

Dobbiamo ora classificare la conica, uno dei modi di vedere il teorema spettrale è:
Se $A$ è una matrice diagonalizzabile e se $<,>$ è un prodotto scalare definito positivo, allora esiste una base ortogonale di autovettori.
In questo diagonalizzando $A$ si ottiene

$((4+2*sqrt(3),0,0),(0,4-2*sqrt(3),0),(0,0,0))$

Quindi isometricamente la forma è equivalente a
$Q(x,y,z)=(x,y,z)*((4+2*sqrt(3),0,0),(0,4-2*sqrt(3),0),(0,0,0))*((x),(y),(z))$
o meglio
$Q(x,y,z)=(4+2*sqrt(3))*x^2+(4-2*sqrt(3))*y^2$

Metre affinemente (usando sylvester)
$Q(x,y,z)=(x,y,z)*((1,0,0),(0,1,0),(0,0,0))*((x),(y),(z))$
quindi
$Q(x,y,z)=x^2+y^2$

edit: ho fatto tanta confusione sulle forme quadratiche e le quadriche...chiunque voglia spendere qualche parola faccia pure dato che la confusione resta

[cirasa]

Sì, anch'io penso che tu abbia fatto un po' di confusione fra forma quadratiche e quadriche.
Parlerò in linea generale (forse un po' disordinatamente) per chiarire i concetti generali.
Forse ripeterò cose già dette da te o le presenterò in un altro modo. Se ci sono concetti che non ti sono noti oppure che tu denoti in modo diverso, chiedi pure.

Innanzitutto dove siamo...siamo nello spazio affine euclideo [tex]\mathbb{A}_3[/tex] (di dimensione [tex]3[/tex]).
In [tex]\mathbb{A}_3[/tex] possiamo definire i cosiddetti sistemi coordinati [tex]h:\mathbb{A}_3\to\mathbb{R}^3[/tex] che sono applicazioni bigettive che associano ad ogni punto la terna delle sue coordinate.
Ora in [tex]\mathbb{A}_3[/tex] cosa sono le quadriche? Scriviamo la definizione rigorosa. Sia [tex]\mathcal{Q}\subset\mathbb{A}_3[/tex]. Si dice che [tex]\mathcal{Q}[/tex] è una quadrica se esistono un sistema coordinato [tex]h:\mathbb{A}_3\to\mathbb{R}^3[/tex], una matrice simmetrica [tex]A[/tex], un vettore colonna [tex]B[/tex] e [tex]c\in\mathbb{R}[/tex] tali che, dato [tex]P\in\mathbb{A}_3[/tex] con [tex]h(P)=X[/tex] si ha che
[tex]P\in\mathcal{Q}[/tex] se e solo se [tex]Q(X)=X^tAX+2B^tX+c[/tex].
Cioè le quadriche sono i punti dello spazio la cui terna delle coordinate annullano la forma quadratica [tex]Q(X)[/tex] (io non la chiamerei forma quadratica, per me la forma quadratica è altro...)
Ricapitolando: una quadrica è un insieme di punti che è definito, in un fissato sistema coordinato, da una forma quadratica.
Fissata la quadrica, cambio sistema coordinato e cambia la forma quadratica che definisce la quadrica.

Detto questo, cosa significa classificare una quadrica dal punto di vista affine o metrico (per la cronaca, si può anche parlare di classificazione proiettiva)?
Significa distinguere la quadrica per cambio di sistemi coordinati. Mi spiego meglio: ci sono proprietà della quadrica [tex]\mathcal{Q}[/tex] che restano invariate se si cambia sistema coordinato.
Dal punto di vista affine si considerano tutti i sistemi coordinati e ciò che distingue una quadrica da un'altra è la segnatura che ti permette di capire se si tratta di piani, coni, cilindri, paraboloidi, iperboloidi, ellissoidi. E in questo caso ciò equivale -come hai detto tu- a far agire il gruppo delle affinità sulla quadrica stessa.
Dal punto di vista metrico si considerano solo i sistemi coordinati dedotti da basi ortonormali e ciò che distingue una quadrica da un'altra è la sua forma canonica. E in questo caso ciò equivale -come hai detto tu- a far agire il gruppo delle isometrie sulla quadrica stessa.

Per quanto riguarda i centri di simmetria, tu scrivi

"angus89":Per vedere se è a centro, posto $b=((3),(6),(3))$ (la diagonale di $B$), dobbiamo verificare che il rango di $A$ e il rango di $(A,b)$ sono uguali, ed effettivamente il rango è sempre $2$. Quindi la conica ha un centro di simmetria.
Questo centro lo si trova risolvendo il sistema $A*X=-b$ da cui si trova che ...

Beh, sinceramente non ho mai visto questo metodo...quindi passo!
Comunque il fatto che abbia infiniti centri di simmetria è certo (se hai fatto bene la classificazione metrica della quadrica). Si vede infatti che si tratta di un cilindro che, appunto, ha infiniti centri di simmetria.

Non so se ho messo un po' di ordine nella tua mente. Io ci ho provato.