Forme quadratiche e diagonalizzazione

[Kashaman]

Salve ragazzi, ho il seguente quesito.

Sia $q : RR^3->RR$ forma quadratica definita da $q(x,y,z)=2\lambda x^2-6xy+2y^2+8yz+2z^2$. $\lambda \in RR$.
a)
Per quali $\lambda\in RR$ $q$ è definita positiva?
b) Per $\lambda=1$ diagonalizzare $q$. Determinare la signatura di $q$.

Parto dal quesito b)
Se $\lambda=1$ allora $q(x,y,z)=2 x^2-6xy+2y^2+8yz+2z^2$. Sia $g : RR^3\timesRR^3-> RR$ la forma bilinerare associata a $q$. E sia $B_c$ la base canonica di $RR^3$. Poiché $q$ è una forma quadratica, $g$ è simmetrica, dunque $EE dot(B)$ base di $RR^3$ che diagonalizza $q$ (o equivalente mente $g$).
Considero $A=G_{B_c}(g) =G_{B_c}(q) = ((2,-6,0),(-6,2,8),(0,8,2))$. Noto che $det(A)!=0$ dunque $g$ è non genere. In tal caso $\dot(B)$ sarà formata da vettori ortogonali non isotropi per $g$.
Noto che $e_1$ è non isotropo. Infatti $q(e_1)=2$.
Considero $\bar{ } = {v = (x,y,z)\in RR^3 | g(v,e_1)=g(e_1,v)=0}={(x,y,z) \in RR^3 | x=3y}=$
$={(3y,y,z) | y,z \in RR} = <(3,1,0),(0,0,1)>$. $q(e_3)=q(0,0,1)=2!=0$, $e_3$ è ortogonale a $e_1$ rispetto a $g$ e in particolare è non isotropo.
Mi resta da determinare un vettore ortogonale sia e $e_1$ che a e $e_3$.
Determino $\bar{nn} = { v=( 3y,y,z) \in RR^3 | g(v,e_3)=0}= { v=( 3y,y,z) \in RR^3 | z=-4y}=$
$=<(3,1,-4) = j>$. ho che $q(j)=2$ anche $j$ è non isotropo.
Dunque $\dot(B) ={e_1,e_3,j}$ è una base ortogonale di $RR^3$ rispetto a $g$. Rispetto a tale base si ha che
$G_{\dot(B))=((2,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$. La signatura di $q$ è dunque $(3,0)$ , dunque $q$ è definita positiva.

Per la parte $a)$ non ho idee .. piccolo hint ragazzi?
La parte b) è corretta? grazie mille.

[Kashaman]

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